Um elétron com energia de 1 eV está aprisionado na superfície de um metal. Se a barreira de potencial é de 4.0 eV e a largura da barreira é de
, calcule a probabilidade de transmissão do elétron através da barreira.
Passo 1
Vamos lá! Você tem um elétron com energia de 1 eV preso na superfície de um metal. A barreira de potencial que ele precisa atravessar tem 4.0 eV de altura e 2 Å de largura. Hoje vamos usar o conceito de tunelamento quântico para calcular a probabilidade desse elétron passar por essa barreira. Vamos precisar aplicar algumas fórmulas da física quântica que descrevem esse fenômeno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é tunelamento quântico. Na física clássica, se a energia do elétron é menor que a barreira, ele não consegue passar. Mas na mecânica quântica, existe uma chance de ele “tunelar” através da barreira mesmo com menos energia. A probabilidade disso acontecer depende de alguns fatores como a diferença de energia entre o elétron e a barreira, a largura da barreira e a massa do elétron.
Passo 3
A probabilidade de transmissão $ T $ pode ser aproximada pela fórmula:
Onde:
- $ \gamma = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} $
- $ m $ é a massa do elétron ($ 9.11 \times 10^{-31} $ kg)
- $ V_0 $ é a altura da barreira (4.0 eV)
- $ E $ é a energia do elétron (1 eV)
- $ a $ é a largura da barreira (2 Å = $ 2 \times 10^{-10} $ m)
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ 1.054 \times 10^{-34} $ J·s)
Passo 4
Primeiro, vamos converter as energias de eV para Joules, já que as constantes estão em SI:
Então:
Passo 5
Agora, calculamos $ \gamma $:
Primeiro, calcula o numerador dentro da raiz:
Então:
Agora, dividimos pelo $ \hbar $:
Passo 6
Com $ \gamma $ calculado, agora aplicamos na fórmula da probabilidade:
Multiplicando os valores:
Então:
Resposta
A probabilidade de transmissão do elétron através da barreira é aproximadamente 2,89%.