Um elétron com energia de 1 eV está aprisionado na superfície de um metal. Se a barreira de potencial é de 4.0 eV e a largura da barreira é de 2 AA, calcule a probabilidade de transmissão do elétron através da barreira.

Passo 1

Vamos lá! Você tem um elétron com energia de 1 eV preso na superfície de um metal. A barreira de potencial que ele precisa atravessar tem 4.0 eV de altura e 2 Å de largura. Hoje vamos usar o conceito de tunelamento quântico para calcular a probabilidade desse elétron passar por essa barreira. Vamos precisar aplicar algumas fórmulas da física quântica que descrevem esse fenômeno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é tunelamento quântico. Na física clássica, se a energia do elétron é menor que a barreira, ele não consegue passar. Mas na mecânica quântica, existe uma chance de ele “tunelar” através da barreira mesmo com menos energia. A probabilidade disso acontecer depende de alguns fatores como a diferença de energia entre o elétron e a barreira, a largura da barreira e a massa do elétron.

Passo 3

A probabilidade de transmissão $ T $ pode ser aproximada pela fórmula:
T
Onde:
  • $ \gamma = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} $
  • $ m $ é a massa do elétron ($ 9.11 \times 10^{-31} $ kg)
  • $ V_0 $ é a altura da barreira (4.0 eV)
  • $ E $ é a energia do elétron (1 eV)
  • $ a $ é a largura da barreira (2 Å = $ 2 \times 10^{-10} $ m)
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ 1.054 \times 10^{-34} $ J·s)

Passo 4

Primeiro, vamos converter as energias de eV para Joules, já que as constantes estão em SI:
1 eV = 1.602 times 10^-19 J
Então:
V0 - E = 4.0 eV - 1.0 eV = 3.0 eV = 4.806 times 10^-19 J

Passo 5

Agora, calculamos $ \gamma $:
gamma
Primeiro, calcula o numerador dentro da raiz:
gamma = raiz2 times 9.11 times 10^-31 kg times 4.806 times 10^-19 J1.054 times 10^-34 J·s
Então:
2 times 9.11 times 10^-31 times 4.806 times 10^-19 = 8.734 times 10^-49 kg·J
Agora, dividimos pelo $ \hbar $:
raiz8.734 times 10^-49 = 9.34 times 10^-25 kg^1/2J^1/2

Passo 6

Com $ \gamma $ calculado, agora aplicamos na fórmula da probabilidade:
gamma
Multiplicando os valores:
T approx e^-2 times 8.87 times 10^9 m^-1 times 2 times 10^-10 m = e^-2 times 8.87 times 10^9 times 2 times 10^-10
Então:
2 times 8.87 times 10^9 times 2 times 10^-10 = 3.548

Resposta

A probabilidade de transmissão do elétron através da barreira é aproximadamente 2,89%.

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