A curva de Lissajous
x=\operatorname{sen} t, \quad y=\operatorname{sen} 2 t, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi
cruza-se na origem. Encontre as equações das duas retas tangentes na origem.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x=\sin t,\qquad y=\sin 2t,\qquad 0\le t\le 2\pi,
e pede: encontrar as equações das duas retas tangentes na origem, sabendo que a curva se cruza na origem.
Informações relevantes fornecidas:
  • As expressões paramétricas \;x=\sin t\; e \;y=\sin 2t\;.
  • O ponto de interesse é a origem (0,0).
  • O parâmetro t varia em [0,2\pi].

Passo 2

Primeiro identificamos os valores de t em que a curva passa pela origem. Isso exige simultaneamente
\sin t=0\quad\text{e}\quad \sin 2t=0.
Resolvendo \sin t=0 em [0,2\pi] obtemos
t=0,\\ \pi,\\\ 2\pi.
Resolvendo \sin 2t=0 obtemos
2t=k\pi\Rightarrow t=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi.
A interseção das duas listas em [0,2\pi] é
t=0,\\ \pi,\\\ 2\pi.
Observação: t=0 e t=2\pi correspondem ao mesmo ponto geométrico (0,0) mas são passagens diferentes pelo mesmo ponto; t=\pi é outra passagem. Portanto a origem é um ponto de auto-interseção com três instantes, mas matematicamente damos duas direções distintas (porque 0 e 2\pi dão a mesma direção).

Passo 3

Para obter a reta tangente numa curva paramétrica usamos a derivada dy/dx em termos de t. A regra é:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}\quad\text{quando}\quad \frac{dx}{dt}\neq 0.
Explicando devagar: x e y dependem de t. A taxa de variação de y em relação a x é a razão entre a taxa de y em relação a t e a taxa de x em relação a t. Essa fórmula vem da regra da cadeia e só é válida quando \dfrac{dx}{dt} não é zero (senão não dá para dividir).

Passo 4

Calculemos \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}. Derivando as parametrizações:
\frac{dx}{dt}=\cos t, \qquad \frac{dy}{dt}=2\cos 2t.
Logo, quando \cos t\neq 0, a inclinação da tangente é
\frac{dy}{dx}=\frac{2\cos 2t}{\cos t}.

Passo 5

Avaliaremos a inclinação nos valores de t que passam pela origem: t=0,\\ \pi,\\\ 2\pi.
  • Para t=0:
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=0}=\cos 0=1,\qquad \frac{dy}{dt}\Big|_{t=0}=2\cos 0\cdot=\;2.
Portanto
\frac{dy}{dx}\Big|_{t=0}=\frac{2}{1}=2.
  • Para t=\pi:
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=\pi}=\cos\pi=-1,\qquad \frac{dy}{dt}\Big|_{t=\pi}=2\cos 2\pi=2.
Portanto
\frac{dy}{dx}\Big|_{t=\pi}=\frac{2}{-1}=-2.
  • Para t=2\pi:
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=2\pi}=\cos 2\pi=1,\qquad \frac{dy}{dt}\Big|_{t=2\pi}=2\cos 4\pi=2,
logo
\frac{dy}{dx}\Big|_{t=2\pi}=2,
o mesmo valor de t=0. Assim as passagens em t=0 e t=2\pi têm a mesma reta tangente m=2; a passagem em t=\pi tem reta tangente com inclinação m=-2.

Passo 6

As retas tangentes passam pela origem (0,0), então a equação de cada tangente com inclinação m é simplesmente
y=mx.
Com os valores encontrados m=2 e m=-2, as duas retas são
y=2x\quad\text{e}\quad y=-2x.

Passo 7

Para reforçar a intuição (como verificar na prova), fazemos uma linearização local (aproximação de primeira ordem) em torno de t=0 e t=\pi.
  • Perto de t=0: para t pequeno \sin t\approx t e \sin 2t\approx 2t. Assim
x\approx t,\qquad y\approx 2t\quad\Rightarrow\quad y\approx 2x,
confirmando a reta y=2x.
  • Perto de t=\pi: escreva t=\pi+u com u pequeno. Então \sin t=\sin(\pi+u)=-\sin u\approx -u e \sin 2t=\sin(2\pi+2u)=\sin 2u\approx 2u. Assim
x\approx -u,\qquad y\approx 2u\quad\Rightarrow\quad y\approx -2x,
confirmando a reta y=-2x.
Essas aproximações mostram claramente que as duas passagens pela origem seguem direções distintas, dando as duas tangentes obtidas.

Resposta

y=2x
y=-2x

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