Um sólido de revolução é aquele gerado pela rotação de uma região (formada a partir de uma função qualquer) em torno de uma reta fixa (a qual chamamos de eixo de revolução).
(a) (
p.) Com base na definição acima, qual é o sólido de revolução obtido pela rotação da função
em torno do eixo
? Faça uma representação desse sólido.
(b) (
p.) Sabendo que, em geral, o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo das abscissas no intervalo
é definido por:
determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pela curva de
, o eixo das abscissas e as retas
e
.
(a) (
(b) (
Passo 1
O enunciado tem dois itens.
(a) Pedem para identificar o sólido obtido ao girar a reta em torno do eixo
.
(b) Pedem para calcular o volume do sólido gerado ao girar a curva entre
e
em torno do eixo
.
Para o item (b) vamos usar o método dos discos, cuja fórmula de volume é
(a) Pedem para identificar o sólido obtido ao girar a reta
(b) Pedem para calcular o volume do sólido gerado ao girar a curva
Para o item (b) vamos usar o método dos discos, cuja fórmula de volume é
Passo 2
Para (a), a reta
sobre o eixo das abscissas define, em cada
, um segmento de altura
. Ao girar esse segmento em torno do eixo
, cada ponto traça um círculo de raio
. O conjunto desses círculos forma um cone circular reto de vértice na origem e semi-ângulo de
. A equação desse cone em coordenadas
é
Passo 3
Para (b), aplicamos a fórmula dos discos com
O raio de cada disco em
vale
, logo
Passo 4
Calculemos a integral:
Substituindo em
:
Resposta
(a) O sólido é um cone circular reto de vértice na origem, dado pela equação
(b)