Um sólido de revolução é aquele gerado pela rotação de uma região (formada a partir de uma função qualquer) em torno de uma reta fixa (a qual chamamos de eixo de revolução).
(a) ( \mathbf{0 , 5} p.) Com base na definição acima, qual é o sólido de revolução obtido pela rotação da função f(x)=x em torno do eixo x ? Faça uma representação desse sólido.
(b) ( \mathbf{0 , 5} p.) Sabendo que, em geral, o volume do sólido gerado pela revolução de f em torno do eixo das abscissas no intervalo [a, b] é definido por:
V=\pi \int_{a}^{b}[f(x)]^{2} d x
determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela curva de f(x)=\frac{1}{4} x^{2}, o eixo das abscissas e as retas x=1 e x=4.

Passo 1

O enunciado tem dois itens.
(a) Pedem para identificar o sólido obtido ao girar a reta y=x em torno do eixo x.
(b) Pedem para calcular o volume do sólido gerado ao girar a curva y=\tfrac{1}{4}x^{2} entre x=1 e x=4 em torno do eixo x.
Para o item (b) vamos usar o método dos discos, cuja fórmula de volume é
V \;=\; \pi \int_{a}^{b} \bigl[f(x)\bigr]^{2}\,dx.

Passo 2

Para (a), a reta \,y=x sobre o eixo das abscissas define, em cada x\ge0, um segmento de altura y=x. Ao girar esse segmento em torno do eixo x, cada ponto traça um círculo de raio r=x. O conjunto desses círculos forma um cone circular reto de vértice na origem e semi-ângulo de 45^\circ. A equação desse cone em coordenadas (x,y,z) é
y^{2}+z^{2}=x^{2},\quad x\ge0.

Passo 3

Para (b), aplicamos a fórmula dos discos com
f(x)=\tfrac14x^{2},\quad a=1,\quad b=4.
O raio de cada disco em x vale \,f(x)=\tfrac14x^{2}, logo
V \;=\;\pi \int_{1}^{4} \Bigl(\tfrac14x^{2}\Bigr)^{2}\,dx \;=\;\pi \int_{1}^{4} \tfrac{1}{16}\,x^{4}\,dx \;=\;\frac{\pi}{16}\int_{1}^{4}x^{4}\,dx.

Passo 4

Calculemos a integral:
\int_{1}^{4}x^{4}\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{5}}{5}\Bigr]_{1}^{4} =\frac{4^{5}-1^{5}}{5} =\frac{1024-1}{5} =\frac{1023}{5}.
Substituindo em V:
V=\frac{\pi}{16}\cdot\frac{1023}{5} =\frac{1023\,\pi}{80}.

Resposta

(a) O sólido é um cone circular reto de vértice na origem, dado pela equação
y^{2}+z^{2}=x^{2},\quad x\ge0.
(b)
V=\frac{1023\,\pi}{80}.

Exercícios relacionados