A curva de nível c de uma função z=f(x, y) é a interseção do gráfico de f com o plano z=c. Decida se esta afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 1

O enunciado fala sobre curvas de nível de uma função de duas variáveis, ou seja, de z=f(x,y). Queremos verificar se a curva de nível associada a um valor c coincide com a interseção do gráfico de f (que vive no espaço (x,y,z)) com o plano z=c. Para isso, vamos lembrar o que é cada objeto e compará-los.

Passo 2

Definição de curva de nível: a curva de nível de valor c de uma função fcolonR^2toR é o subconjunto do domínio dado por
(x,y)mid f(x,y)=c
Em outras palavras, é o conjunto de pontos no plano xy onde a função atinge exatamente o valor c.

Passo 3

Definição do gráfico de f e do plano z=c:
– O gráfico de f é o conjunto
(x,y,z)mid z=f(x,y)subsetR^3
– O plano z=c é o conjunto
(x,y,z)mid z=csubsetR^3

Passo 4

Interseção gráfico cap plano:
(x,y,z)mid z=f(x,y);cap;(x,y,z)mid z=c =(x,y,z)mid z=f(x,y)=c
Projetando esse conjunto sobre o plano xy, cada ponto satisfaz f(x,y)=c. Logo, a curva de nível de valor c em (x,y) é exatamente a projeção da interseção do gráfico com o plano z=c.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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