As curvas de nível da função f(x, y)=x^2 y^2 são circunferências centradas na origem. Decida se esta afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 1

O enunciado pede para analisar as curvas de nível da função
f(x,y)=x^2y^2
e decidir se elas são circunferências centradas na origem. Vamos usar o conceito de curva de nível: para cada constante k, a curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=k.

Passo 2

Escrevendo a equação geral da curva de nível para k>=0, temos
x^2y^2=k
ou equivalentemente
|xy|=raizk,

Passo 3

Para k=0, a curva de nível é xy=0, ou seja, os eixos coordenados (duas retas), que não são círculos. Para k>0, a equação |xy|=raizk descreve duas hipérbolas (nos quadrantes I/III e II/IV), não uma circunferência.

Passo 4

Uma circunferência centrada na origem teria a forma
x^2+y^2=R^2
e não |xy|=constante. Logo, as curvas de nível de x^2y^2 não são círculos.

Resposta

A afirmação é falsa.

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