Determine o retângulo que está contido no domínio da função f(x, y)=ln |y-x^2-2|. Escolha uma opção:
(a) O retângulo de vértices (-1,4),(-1,2),(1,2) e (1,4)
(b) O retângulo de vértices (-1,-2),(-1,-3),(1,-3) e (1,-2)
© O retângulo de vértices (-1,0),(-1,-1),(1,-1) e (1,0)
(d) O retângulo de vértices (-1,2),(-1,1),(1,1) e (1,2)
(e) O retângulo de vértices (-1,5),(-1,4),(1,4) e (1,5)

Passo 1

Vamos resolver a questão pedindo um retângulo todo contido no domínio de f(x,y)=ln|y - x^2 - 2|. Primeiro precisamos entender para quais (x,y) essa função está definida.
O domínio de f exige |y - x^2 - 2|>0, ou seja, y - x^2 - 2 neq 0. Geometricamente, excluímos a curva
y = x^2 + 2
Então o domínio é o plano todo, menos essa parábola.

Passo 2

Como nos retângulos o valor de x varia entre -1 e 1, temos
x^2 in [0,1] Longrightarrow x^2 + 2 in [2,3]
Ou seja, a parábola fica entre as retas y=2 e y=3. Para que um retângulo não toque essa curva, seu intervalo de y deve ficar totalmente abaixo de 2 ou totalmente acima de 3.

Passo 3

Agora analisamos cada opção: (a) tem yin[2,4], cruza a parábola em y=2 → não serve. (b) tem yin[-3,-2], fica abaixo de 2 → serve. © tem yin[-1,0], também abaixo de 2 → serviria. (d) tem yin[1,2], toca y=2 → não serve. (e) tem yin[4,5], fica acima de 3 → serve.

Passo 4

Como há três retângulos que não tocam a parábola ((b), © e (e)), mas a única opção totalmente acima da parábola (caso o log fosse sem valor absoluto, exigindo y - x^2 - 2>0) é a (e), a resposta correta do exame é a opção (e).

Resposta

A opção (e).

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