Para a curva parametrizada pela função abaixo, determine
r(t)=lang<=45 cos t, 1-sin t,-35 cos trang<=
O comprimento de arco quando t percorre o intervalo [0, pi].

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
r(t)=llang<= tfrac45cos t,;1-sin t,;-tfrac35cos trrang<=
e pede o comprimento de arco para tin[0,pi]. Para isso vamos usar a fórmula
L = integrala^b l|r,'(t)r|,dt,
isto é, precisamos calcular r,'(t), sua norma e então integrar.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
r,'(t) = llang<= -tfrac45sin t,;-cos t,;tfrac35sin trrang<=

Passo 3

Agora encontramos a norma ao quadrado de r,'(t):
l|r,'(t)r|^2 =l(-tfrac45sin tr)^2 + (-cos t)^2 + l(tfrac35sin tr)^2 =tfrac1625sin^2 t + cos^2 t + tfrac925sin^2 t =sin^2 t + cos^2 t =1
Logo, l|r,'(t)r|=1.

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^pi 1 ,dt = pi - 0 = pi

Resposta

pi

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