Para a curva parametrizada pela função abaixo, determine
r(t)=lang<=45 cos t, 1-sin t,-35 cos trang<=
A curvatura kappa(t)=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3 no ponto lang<= 4 / 5,1,3 / 5rang<=

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada por
r(t)=llang<=tfrac45cos t,;1-sin t,;-tfrac35cos trrang<=
e pede a curvatura
kappa(t)=|r'(t)timesr''(t)||r'(t)|^3
no ponto lang<= tfrac45,1,tfrac35rang<=. Para isso precisamos primeiro encontrar t tal que r(t)=lang<= tfrac45,1,tfrac35rang<=.

Passo 2

Escrevendo as três coordenadas de r(t)=lang<= x,y,zrang<= e igualando a lang<= tfrac45,1,tfrac35rang<=, temos o sistema
45cos t = 45, 1-sin t = 1, -35cos t = 35

Passo 3

Da primeira equação segue cos t=1. Da segunda segue sin t=0. Essas duas são satisfeitas por t=2kpi. Mas para t=2kpi temos -tfrac35cos t=-tfrac35, que não coincide com tfrac35 exigido pela terceira equação. Logo não existe t real que satisfaça todas as três igualdades.

Resposta

O ponto lang<= tfrac45,1,tfrac35rang<= não pertence à curva dada, portanto não é possível calcular a curvatura naquele ponto.

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