Para a curva parametrizada pela função abaixo, determine o comprimento de arco quando
percorre o intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva parametrizada pela função
e queremos descobrir o comprimento dessa curva quando
varia de 0 a 1. Isso envolve um conceito do cálculo conhecido como comprimento de arco de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada. A fórmula para o comprimento de arco
de
de
a
é:
Então, vamos precisar derivar cada componente de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Passo 5
Observando a expressão dentro da raiz, podemos fatorar:
Então, a integral fica:
Porque a raiz quadrada de
é
, já que
é positivo no intervalo de 0 a 1.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Substituindo os limites de integração:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
O comprimento de arco da curva no intervalo
é 15 unidades.