Para a curva parametrizada pela função abaixo, determine o comprimento de arco quando t percorre o intervalo [0,1].
r(t)=lang<= 12 t, 8 t^3 / 2, 3 t^2rang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva parametrizada pela função r(t) = lang<= 12t, 8t^3/2, 3t^2 rang<= e queremos descobrir o comprimento dessa curva quando t varia de 0 a 1. Isso envolve um conceito do cálculo conhecido como comprimento de arco de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada. A fórmula para o comprimento de arco S de r(t) = lang<= x(t), y(t), z(t) rang<= de t = a a t = b é:
S = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt
Então, vamos precisar derivar cada componente de r(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:
dxdt = ddt(12t) = 12
dydt = ddt(8t^3/2) = 8 times 32 t^1/2 = 12 t^1/2
dzdt = ddt(3t^2) = 6t

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
S = integral0^1 raiz(12)^2 + (12 t^1/2)^2 + (6t)^2 , dt
Vamos simplificar dentro da raiz:
S = integral0^1 raiz144 + 144 t + 36 t^2 , dt

Passo 5

Observando a expressão dentro da raiz, podemos fatorar:
144 + 144 t + 36 t^2 = 36(4 + 4t + t^2) = 36(t + 2)^2
Então, a integral fica:
S = integral0^1 raiz36(t + 2)^2 , dt = integral0^1 6(t + 2) , dt
Porque a raiz quadrada de 36(t + 2)^2 é 6(t + 2), já que t + 2 é positivo no intervalo de 0 a 1.

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
S = 6 integral0^1 (t + 2) , dt
Integrando termo a termo:
S = 6 [ t^22 + 2t ]0^1

Passo 7

Substituindo os limites de integração:
Para t = 1:
1^22 + 2(1) = 12 + 2 = 52
Para t = 0:
0^22 + 2(0) = 0
Então:
S = 6 ( 52 - 0 ) = 6 times 52 = 15

Resposta

O comprimento de arco da curva no intervalo t in [0, 1] é 15 unidades.

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