Nos problemas 1-10, determine a transformada de Laplace inversa da função dada.
s+1s^2+2 s+10

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Transformada de Laplace inversa. A função que precisamos transformar é s+1s^2+2 s+10. Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Laplace inversa e entender um pouco sobre frações racionais e como decompor elas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador da função: s^2 + 2s + 10. A gente pode completar o quadrado para facilitar a transformação. Completar o quadrado significa reescrever a expressão quadrática de uma forma que envolva um quadrado perfeito.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para s^2 + 2s + 10. Pegamos os coeficientes:
s^2 + 2s + 10 = (s^2 + 2s + 1) + 9 = (s + 1)^2 + 9
Então, a expressão fica (s + 1)^2 + 9.

Passo 4

Agora, a função original fica:
s + 1(s + 1)^2 + 9
Isso já está na forma padrão para aplicar a Transformada de Laplace inversa.

Passo 5

Sabemos que a Transformada de Laplace inversa de s - a(s - a)^2 + b^2 é e^a t cos(bt). No nosso caso, a = -1 e b = 3 porque 9 = 3^2 .

Passo 6

Aplicando essa fórmula, temos:
L^-1s + 1(s + 1)^2 + 9 = e^-t cos(3t)

Resposta

A transformada de Laplace inversa da função dada é e^-t cos(3t).

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