a) Sejam
e
duas funções contínuas nos intervalos
e
, respectivamente. Mostre que:
onde
é o retângulo:
e
.
b) Use o item a) para calcular a integral:
onde
é o retângulo:
e
.
b) Use o item a) para calcular a integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema tem duas partes:
a) Mostra que a integral dupla de
sobre um retângulo
pode ser separada em duas integrais simples.
b) Usar o resultado da parte a) para calcular uma integral específica.
Vamos precisar usar integrais duplas e o conceito de funções contínuas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Imagine que você quer calcular o volume sob uma superfície
em uma região
no plano
. A integral dupla faz exatamente isso!
No nosso caso, a função
é o produto de duas funções, cada uma dependendo de uma variável diferente. E a região
é um retângulo definido por
e
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla que queremos:
Como
depende só de
e
só de
, a integral dupla pode ser separada nas integrais simples de cada função. Isso é uma propriedade das integrais quando as funções são independentes.
Passo 4
Vamos separar a integral dupla em duas integrais simples:
Isso significa que para calcular a integral dupla, podemos calcular cada integral separadamente e depois multiplicar os resultados.
Passo 5
Agora, para a parte b), vamos usar o resultado que acabamos de mostrar. A integral que precisamos calcular é:
onde
é o retângulo
e
.
Passo 6
Identificamos
e
. Ambas as funções são contínuas nos intervalos dados, então podemos usar a propriedade da integral dupla que vimos na parte a).
Passo 7
Vamos separar a integral dupla em duas integrais simples:
Passo 8
Agora, vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a integral de
:
Sabemos que
. Então:
Passo 9
Agora, a integral de
:
Fazemos a substituição
, então
, ou
. Mudando os limites:
Quando
,
Quando
,
Substituindo:
Passo 10
Agora, multiplicamos os resultados das duas integrais:
Resposta
A integral dupla é igual a
.