a) Sejam f(x) e g(y) duas funções contínuas nos intervalos [a, b] e [c, d], respectivamente. Mostre que:
integral duplaD f(x) g(y) d x d y=[integrala^b f(x) d x][integralc^d g(y) d y],
onde D é o retângulo: D=(x, y) in R^2, a <= x <= b e c <= x <= d.
b) Use o item a) para calcular a integral:
integral duplaD sen^2(x)1+4 y^2 d x d y
onde D é o retângulo: D=(x, y) in R^2, 0 <= x <= pi / 2 e 0 <= y <= 1 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema tem duas partes:
a) Mostra que a integral dupla de f(x)g(y) sobre um retângulo D pode ser separada em duas integrais simples.
b) Usar o resultado da parte a) para calcular uma integral específica.
Vamos precisar usar integrais duplas e o conceito de funções contínuas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Imagine que você quer calcular o volume sob uma superfície f(x, y) em uma região D no plano xy . A integral dupla faz exatamente isso!
No nosso caso, a função f(x, y) = f(x)g(y) é o produto de duas funções, cada uma dependendo de uma variável diferente. E a região D é um retângulo definido por a <= x <= b e c <= y <= d .

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla que queremos:
integral duplaD f(x) g(y) , dx , dy
Como f(x) depende só de x e g(y) só de y , a integral dupla pode ser separada nas integrais simples de cada função. Isso é uma propriedade das integrais quando as funções são independentes.

Passo 4

Vamos separar a integral dupla em duas integrais simples:
integral duplaD f(x) g(y) , dx , dy = ( integrala^b f(x) , dx ) ( integralc^d g(y) , dy )
Isso significa que para calcular a integral dupla, podemos calcular cada integral separadamente e depois multiplicar os resultados.

Passo 5

Agora, para a parte b), vamos usar o resultado que acabamos de mostrar. A integral que precisamos calcular é:
integral duplaD sin^2(x)1 + 4 y^2 , dx , dy
onde D é o retângulo 0 <= x <= pi2 e 0 <= y <= 12 .

Passo 6

Identificamos f(x) = sin^2(x) e g(y) = 11 + 4 y^2 . Ambas as funções são contínuas nos intervalos dados, então podemos usar a propriedade da integral dupla que vimos na parte a).

Passo 7

Vamos separar a integral dupla em duas integrais simples:
integral duplaD sin^2(x)1 + 4 y^2 , dx , dy = ( integral0^pi2 sin^2(x) , dx ) ( integral0^12 11 + 4 y^2 , dy )

Passo 8

Agora, vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a integral de sin^2(x) :
integral0^pi2 sin^2(x) , dx
Sabemos que sin^2(x) = 1 - cos(2x)2 . Então:
integral0^pi2 1 - cos(2x)2 , dx = 12 [ x - sin(2x)2 ]0^pi2 = 12 ( pi2 - 0 ) = pi4

Passo 9

Agora, a integral de 11 + 4 y^2 :
integral0^12 11 + 4 y^2 , dy
Fazemos a substituição u = 2y , então du = 2 dy , ou dy = du2 . Mudando os limites:
Quando y = 0 , u = 0
Quando y = 12 , u = 1
Substituindo:
integral0^1 11 + u^2 cdot du2 = 12 [ arctan(u) ]0^1 = 12 ( pi4 - 0 ) = pi8

Passo 10

Agora, multiplicamos os resultados das duas integrais:
pi4 times pi8 = pi^232

Resposta

A integral dupla é igual a pi^232.

Exercícios relacionados