Duas partículas carregadas com cargas de módulos q1 e q2 interagem com uma força eletrostática. Segundo a Lei de Coulomb, o módulo dessa força, em Newtons, é modelado pela função F:(0, infty) longrightarrow(0, infty) dada por F(x)=K q1 q2x^2, onde K>0 é uma constante que depende do meio e x é a distância, em metros, entre as partículas. Suponha que, em unidades físicas apropriadas, K q1 q2=10 e resolva os itens a seguir.
(a) Encontre de<a>0 suficientemente pequeno tal que se 0<x<de<a, então a força entre as partículas tem módulo maior que 10^7 N (dez milhões de Newtons).
(b) Encontre M>0 suficientemente grande tal que se x>M, então a força entre as partículas tem módulo menor que 10^-6 N (um milhonésimo de Newton).
(c) Determine lim x 0^+ F(x) e lim x infty F(x).
(d) Faça um esboço do gráfico de F.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão sobre a Lei de Coulomb, que descreve a força eletrostática entre duas partículas carregadas. A gente precisa entender como a força varia com a distância entre as partículas. Vamos resolver os itens de (a) a (d), encontrando valores específicos para a distância que fazem a força ser maior que dez milhões de Newtons, menor que um milionésimo de Newton, calcular limites e até esboçar o gráfico dessa força.

Passo 2

Vamos começar com o item (a): Encontrar um valor de de<a > 0 tal que, se 0 < x < de<a, então a força F(x) seja maior que 10^7 N.
A Lei de Coulomb nos dá a força eletrostática entre duas cargas:
F(x) = K q1 q2x^2
Sabemos que K q1 q2 = 10, então:
F(x) = 10x^2
Queremos que F(x) > 10^7 N:
10x^2 > 10^7
Vamos resolver essa inequação para encontrar de<a.

Passo 3

Resolvendo a inequação:
10x^2 > 10^7
Multiplicando ambos os lados por x^2 (lembrando que x > 0):
10 > 10^7 x^2
Agora, dividindo ambos os lados por 10^7:
1010^7 > x^2
Simplificando:
x^2 < 10^-6
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
x < 10^-3
Portanto, de<a = 10^-3 metros.

Passo 4

Vamos para o item (b): Encontrar um valor de M > 0 tal que, se x > M, então a força F(x) seja menor que 10^-6 N.
Continuando com a mesma expressão para a força:
F(x) = 10x^2
Queremos que F(x) < 10^-6 N:
10x^2 < 10^-6
Resolvendo para x:

Passo 5

Resolvendo a inequação:
10x^2 < 10^-6
Multiplicando ambos os lados por x^2:
10 < 10^-6 x^2
Dividindo por 10^-6:
x^2 > 1010^-6 = 10^7
Tirando a raiz quadrada:
x > raiz10^7 = 10^3.5 approx 3162.28 metros
Portanto, M = 3162.28 metros.

Passo 6

Agora, o item (c): Determinar limx to 0^+ F(x) e limx to infty F(x).
Vamos analisar os limites da função F(x) = 10x^2.
Primeiro, quando x se aproxima de 0 pelo lado positivo ( 0^+):
limx to 0^+ 10x^2 = +infty
Isso significa que, quanto mais próximo x chega de zero, maior a força.
Segundo, quando x vai para o infinito:
limx to infty 10x^2 = 0
Ou seja, conforme a distância aumenta, a força diminui e se aproxima de zero.

Passo 7

Por fim, o item (d): Fazer um esboço do gráfico de F(x).
Sabemos que F(x) = 10x^2 é uma função que sempre é positiva para x > 0, decresce à medida que x aumenta e se aproxima de zero. Quando x se aproxima de zero, F(x) tende ao infinito. O gráfico será uma hipérbole no primeiro quadrante, ficando alta perto de x = 0 e se aproximando do eixo x conforme x aumenta.

Resposta

(a) de<a = 10^-3 metros.
(b) M approx 3162.28 metros.
(c) limx to 0^+ F(x) = +infty e limx to infty F(x) = 0.
(d) O gráfico de F(x) = 10x^2 é uma hipérbole no primeiro quadrante, que cresce sem limite conforme x se aproxima de zero e decresce suavemente em direção ao eixo x conforme x aumenta.

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