Duas partículas carregadas com cargas de módulos
e
interagem com uma força eletrostática. Segundo a Lei de Coulomb, o módulo dessa força, em Newtons, é modelado pela função
dada por
, onde
é uma constante que depende do meio e
é a distância, em metros, entre as partículas. Suponha que, em unidades físicas apropriadas,
e resolva os itens a seguir.
(a) Encontre
suficientemente pequeno tal que se
, então a força entre as partículas tem módulo maior que
(dez milhões de Newtons).
(b) Encontre
suficientemente grande tal que se
, então a força entre as partículas tem módulo menor que
(um milhonésimo de Newton).
(c) Determine
e
.
(d) Faça um esboço do gráfico de
.
(a) Encontre
(b) Encontre
(c) Determine
(d) Faça um esboço do gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão sobre a Lei de Coulomb, que descreve a força eletrostática entre duas partículas carregadas. A gente precisa entender como a força varia com a distância entre as partículas. Vamos resolver os itens de (a) a (d), encontrando valores específicos para a distância que fazem a força ser maior que dez milhões de Newtons, menor que um milionésimo de Newton, calcular limites e até esboçar o gráfico dessa força.
Passo 2
Vamos começar com o item (a): Encontrar um valor de
tal que, se
, então a força
seja maior que
N.
A Lei de Coulomb nos dá a força eletrostática entre duas cargas:
Sabemos que
, então:
Queremos que
N:
Vamos resolver essa inequação para encontrar
.
Passo 3
Resolvendo a inequação:
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que
):
Agora, dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Portanto,
metros.
Passo 4
Vamos para o item (b): Encontrar um valor de
tal que, se
, então a força
seja menor que
N.
Continuando com a mesma expressão para a força:
Queremos que
N:
Resolvendo para
:
Passo 5
Resolvendo a inequação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por
:
Tirando a raiz quadrada:
Portanto,
metros.
Passo 6
Agora, o item (c): Determinar
e
.
Vamos analisar os limites da função
.
Primeiro, quando
se aproxima de
pelo lado positivo (
):
Isso significa que, quanto mais próximo
chega de zero, maior a força.
Segundo, quando
vai para o infinito:
Ou seja, conforme a distância aumenta, a força diminui e se aproxima de zero.
Passo 7
Por fim, o item (d): Fazer um esboço do gráfico de
.
Sabemos que
é uma função que sempre é positiva para
, decresce à medida que
aumenta e se aproxima de zero. Quando
se aproxima de zero,
tende ao infinito. O gráfico será uma hipérbole no primeiro quadrante, ficando alta perto de
e se aproximando do eixo
conforme
aumenta.
Resposta
(a)
metros.
(b)
metros.
(c)
e
.
(d) O gráfico de
é uma hipérbole no primeiro quadrante, que cresce sem limite conforme
se aproxima de zero e decresce suavemente em direção ao eixo
conforme
aumenta.