Nos problemas 1-10, determine a transformada de Laplace inversa da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função
. A matéria aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para transformar equações diferenciais em álgebra simples. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as tabelas de transformadas de Laplace e saber identificar a forma da função que estamos trabalhando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace inversa. Basicamente, ela nos ajuda a voltar da representação no domínio da frequência (com a variável
) para o domínio do tempo (com a variável
). Então, se temos uma função no domínio de
, aplicamos a transformada inversa para encontrar a função original em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Perceba que o denominador
se assemelha a uma expressão que aparece na tabela de transformadas de Laplace inversas. Sabemos que:
Aqui,
é a frequência angular. Comparando com a nossa função, temos
, então
, ou seja,
.
Passo 4
No entanto, na nossa função, o numerador é 2, e não
. Mas, como
, podemos reescrever a função assim:
Dessa forma, podemos aplicar diretamente a transformada inversa usando a fórmula que mencionamos.
Passo 5
Aplicando a fórmula da transformada inversa, temos:
Isso significa que a função original no domínio do tempo é
.
Resposta
A transformada de Laplace inversa de
é
.