Nos problemas 1-10, determine a transformada de Laplace inversa da função dada.
2s^2+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função 2s^2+4. A matéria aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para transformar equações diferenciais em álgebra simples. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as tabelas de transformadas de Laplace e saber identificar a forma da função que estamos trabalhando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace inversa. Basicamente, ela nos ajuda a voltar da representação no domínio da frequência (com a variável s) para o domínio do tempo (com a variável t). Então, se temos uma função no domínio de s, aplicamos a transformada inversa para encontrar a função original em t.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função 2s^2+4. Perceba que o denominador s^2 + 4 se assemelha a uma expressão que aparece na tabela de transformadas de Laplace inversas. Sabemos que:
L^-1omegas^2 + omega^2 = sin(omega t)
Aqui, omega é a frequência angular. Comparando com a nossa função, temos s^2 + 4, então omega^2 = 4, ou seja, omega = 2.

Passo 4

No entanto, na nossa função, o numerador é 2, e não omega. Mas, como omega = 2, podemos reescrever a função assim:
2s^2 + 4 = omegas^2 + omega^2
Dessa forma, podemos aplicar diretamente a transformada inversa usando a fórmula que mencionamos.

Passo 5

Aplicando a fórmula da transformada inversa, temos:
L^-12s^2+4 = sin(2t)
Isso significa que a função original no domínio do tempo é sin(2t).

Resposta

A transformada de Laplace inversa de 2s^2+4 é sin(2t).

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