Para a curva parametrizada pela função abaixo, determine
r(t)=lang<= 12 t, 8 t^3 / 2, 3 t^2rang<=
(a) O comprimento de arco quando t percorre o intervalo [0,1].
(b) A curvatura kappa(t)=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3 no ponto lang<= 12,8,3rang<=

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada por
r(t)=lang<= 12t,;8,t^3/2,;3t^2rang<=
e pede (a) o comprimento de arco de t=0 a t=1 e (b) a curvatura
kappa(t)=|r'(t)timesr''(t)||r'(t)|^3
no ponto lang<=12,8,3rang<=.
Para isso vamos precisar de r'(t), de r''(t), do seu módulo e do produto vetorial.

Passo 2

Primeiro calculamos
r'(t)=lang<= 12,;12,t^1/2,;6trang<=
Logo
|r'(t)|^2=144+144t+36t^2 =36,(t+2)^2, |r'(t)|=6,(t+2)
Pela fórmula do comprimento de arco
s=integral0^1|r'(t)|,dt =integral0^16(t+2),dt =6l[tfract^22+2tr]0^1 =6l(tfrac12+2r) =15

Passo 3

O ponto lang<=12,8,3rang<= corresponde a t=1 (pois 12t=12 e 3t^2=3). Então
r'(1)=lang<=12,12,6rang<=, r''(t)=lang<=0,6,t^-1/2,6rang<= ;Rightarrow; r''(1)=lang<=0,6,6rang<=
O produto vetorial dá
r'(1)timesr''(1) = i&j&k 12&12&6 0&6&6 =lang<=36,,-72,,72rang<=,
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|r'(1)timesr''(1)|=raiz36^2+(-72)^2+72^2=108
e
|r'(1)|=raiz12^2+12^2+6^2=raiz324=18.
Assim
kappa(1) =10818^3 =1085832 =154

Resposta

(a) 15
(b) 154

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