Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga P e Q.
P(a, b, c), Q(u, v, w)

Passo 1

O enunciado nos dá dois pontos em R^3,
P(a,b,c) e Q(u,v,w),
e pede a equação vetorial e as equações paramétricas do segmento de reta que os liga.
O conteúdo aqui é parametrização de reta em geometria analítica vetorial, usando combinação linear de vetores.

Passo 2

Para parametrizar uma reta que passa por P e Q, definimos um ponto genérico
r(t) como
r(t) ;=; P ;+; t,(Q - P),
onde Q - P é o vetor diretor da reta. Se restringirmos t ao intervalo [0,1], obtemos exatamente o segmento de reta de P a Q.

Passo 3

Calculando Q - P, temos
Q - P ;=; (u,v,w) ;-; (a,b,c) ;=; (,u - a,;v - b,;w - c,)
Logo, a equação vetorial do segmento é
r(t) ;=; (a,b,c) ;+; t,(u - a,;v - b,;w - c), 0 <= t <= 1

Passo 4

Separando em componentes, obtemos as equações paramétricas
x(t) = a + (u - a),t, y(t) = b + (v - b),t, z(t) = c + (w - c),t, 0 <= t <= 1

Resposta

r(t) = (a,b,c) + t,(u - a,;v - b,;w - c), 0 <= t <= 1,
x = a + (u - a),t, y = b + (v - b),t, z = c + (w - c),t, 0 <= t <= 1

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