Nos problemas 11-20, determine as expansões em frações parciais para a função racional dada.
s^2-26 s-47(s-1)(s+2)(s+5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decompor a função racional dada em frações parciais. Isso significa que vamos quebrar a fração complexa em frações mais simples que são mais fáceis de lidar. A função que temos é:
s^2-26 s-47(s-1)(s+2)(s+5)
Vamos precisar usar um pouco de álgebra para encontrar as constantes que vão compor essas frações menores.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a fração dada pode ser escrita como a soma de três frações menores, cada uma com um dos fatores do denominador original. Então, nossa equação fica assim:
s^2-26 s-47(s-1)(s+2)(s+5) = As-1 + Bs+2 + Cs+5
Aqui, A , B e C são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Para achar esses valores, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum (s-1)(s+2)(s+5). Fazendo isso, temos:
s^2 - 26s - 47 = A(s+2)(s+5) + B(s-1)(s+5) + C(s-1)(s+2)

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos à direita da equação:
A(s+2)(s+5) &= A(s^2 + 7s + 10) B(s-1)(s+5) &= B(s^2 + 4s - 5) C(s-1)(s+2) &= C(s^2 + s - 2)
Distribuindo A , B e C :
A s^2 + 7A s + 10A + B s^2 + 4B s - 5B + C s^2 + C s - 2C

Passo 5

Vamos agrupar os termos semelhantes:
(A + B + C) s^2 + (7A + 4B + C) s + (10A - 5B - 2C)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes do lado esquerdo e direito da equação:
A + B + C = 1 7A + 4B + C = -26 10A - 5B - 2C = -47

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, podemos isolar C :
C = 1 - A - B

Passo 8

Substituímos C nas outras duas equações:
7A + 4B + (1 - A - B) = -26 10A - 5B - 2(1 - A - B) = -47
Simplificando:
6A + 3B = -27 12A - 3B = -49

Passo 9

Agora, somamos as duas equações para eliminar B :
6A + 3B + 12A - 3B = -27 - 49
Isso resulta em:
18A = -76
Então:
A = -7618 = -389

Passo 10

Com o valor de A , vamos encontrar B usando uma das equações simplificadas, por exemplo:
6A + 3B = -27
Substituindo A :
6(-389) + 3B = -27
-2289 + 3B = -27
-253 + 3B = -27
3B = -27 + 253
3B = -16
B = -59

Passo 11

Finalmente, encontramos C usando C = 1 - A - B :
C = 1 - (-389) - (-59)
C = 1 + 389 + 59
C = 99 + 389 + 59
C = 529

Resposta

Portanto, a expansão em frações parciais da função dada é:
s^2-26 s-47(s-1)(s+2)(s+5) = -389s-1 + -59s+2 + 529s+5

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