Nos problemas 11-20, determine as expansões em frações parciais para a função racional dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decompor a função racional dada em frações parciais. Isso significa que vamos quebrar a fração complexa em frações mais simples que são mais fáceis de lidar. A função que temos é:
Vamos precisar usar um pouco de álgebra para encontrar as constantes que vão compor essas frações menores.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a fração dada pode ser escrita como a soma de três frações menores, cada uma com um dos fatores do denominador original. Então, nossa equação fica assim:
Aqui, , e são constantes que precisamos descobrir.
Passo 3
Para achar esses valores, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum . Fazendo isso, temos:
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos à direita da equação:
Distribuindo , e :
Passo 5
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes do lado esquerdo e direito da equação:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, podemos isolar C :
C = 1 - A - B
Passo 8
Substituímos C nas outras duas equações:
7A + 4B + (1 - A - B) = -26 10A - 5B - 2(1 - A - B) = -47
Simplificando:
6A + 3B = -27 12A - 3B = -49
Passo 9
Agora, somamos as duas equações para eliminar B :
6A + 3B + 12A - 3B = -27 - 49
Isso resulta em:
18A = -76
Então:
A = -7618 = -389
Passo 10
Com o valor de A , vamos encontrar B usando uma das equações simplificadas, por exemplo:
6A + 3B = -27
Substituindo A :
6(-389) + 3B = -27
-2289 + 3B = -27
-253 + 3B = -27
3B = -27 + 253
3B = -16
B = -59
Passo 11
Finalmente, encontramos C usando C = 1 - A - B :
C = 1 - (-389) - (-59)
C = 1 + 389 + 59
C = 99 + 389 + 59
C = 529
Resposta
Portanto, a expansão em frações parciais da função dada é: