Para a curva parametrizada pela função abaixo, determine a curvatura kappa(t)=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3 no ponto lang<= 4 / 5,1,3 / 5rang<=
r(t)=lang<=45 cos t, 1-sin t,-35 cos trang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a curvatura kappa(t) da curva parametrizada pela função r(t) = lang<= 45 cos t, 1 - sin t, -35 cos t rang<= no ponto lang<= 45, 1, 35 rang<= . Para isso, vamos usar a fórmula da curvatura:
kappa(t) = | r^,prime(t) times r^,primeprime(t) || r^,prime(t) |^3
Vamos precisar calcular as derivadas da função r(t) , fazer o produto vetorial delas, e então aplicar a fórmula acima.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função r(t) , que é r^,prime(t) . A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente em relação a t .
r^,prime(t) = lang<= -45 sin t, -cos t, 35 sin t rang<=
Aqui, usamos que a derivada de cos t é -sin t e a derivada de sin t é cos t .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada da função, r^,primeprime(t) , que é a derivada da primeira derivada.
r^,primeprime(t) = lang<= -45 cos t, sin t, 35 cos t rang<=
Derivamos novamente cada componente: a derivada de -sin t é -cos t , a derivada de -cos t é sin t , e a derivada de sin t é cos t .

Passo 4

Precisamos encontrar o produto vetorial entre r^,prime(t) e r^,primeprime(t) . O produto vetorial de dois vetores a = lang<= a1, a2, a3 rang<= e b = lang<= b1, b2, b3 rang<= é dado por:
a times b = lang<= a2 b3 - a3 b2, , a3 b1 - a1 b3, , a1 b2 - a2 b1 rang<=
Aplicando isso às nossas derivadas:
r^,prime(t) times r^,primeprime(t) = lang<= (-cos t) cdot 35 cos t - (35 sin t) cdot sin t, , (35 sin t) cdot (-45 cos t) - (-45 sin t) cdot 35 cos t, , (-45 sin t) cdot sin t - (-cos t) cdot (-45 cos t) rang<=
Simplificando cada componente:
= lang<= -35 cos^2 t - 35 sin^2 t, , -1225 sin t cos t + 1225 sin t cos t, , -45 sin^2 t - 45 cos^2 t rang<=
= lang<= -35 (cos^2 t + sin^2 t), , 0, , -45 (sin^2 t + cos^2 t) rang<=
Sabemos que cos^2 t + sin^2 t = 1 , então:
= lang<= -35, , 0, , -45 rang<=

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma (ou tamanho) desse vetor resultante:
| r^,prime(t) times r^,primeprime(t) | = raiz(-35)^2 + 0^2 + (-45)^2 = raiz925 + 0 + 1625 = raiz2525 = 1

Passo 6

Agora, precisamos calcular a norma da primeira derivada r^,prime(t) :
| r^,prime(t) | = raiz(-45 sin t)^2 + (-cos t)^2 + (35 sin t)^2 = raiz1625 sin^2 t + cos^2 t + 925 sin^2 t
= raiz2525 sin^2 t + cos^2 t = raizsin^2 t + cos^2 t = raiz1 = 1

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura kappa(t) :
kappa(t) = | r^,prime(t) times r^,primeprime(t) || r^,prime(t) |^3 = 11^3 = 1

Resposta

A curvatura kappa(t) da curva no ponto lang<= 45, 1, 35 rang<= é 1.

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