A curva y=f(x) que passa pelo ponto P(0,1), e possui reta tangente em P paralela à reta de equação 2 x+y=3 e satisfaz a relação d^2 yd x^2=e^x+2 em todos os seus pontos é dada pela equação:
a) y=e^x+x^2+3 x
b) y=e^x+x^2-3 x
c) y=e^x+x^2-4 x
d) y=e^x+x^2-3 x+1
e) y=e^x+x^2-3 x-1

Passo 1

O enunciado pede encontrar a função y=f(x) tal que ela passe por P(0,1), tenha reta tangente em P paralela a 2x+y=3 (logo f'(0)=-2) e satisfaça f''(x)=e^x+2. O tema é resolver uma EDO por integração dupla usando condições iniciais.

Passo 2

Integrando f''(x)=e^x+2, obtemos
f'(x)=integral (e^x+2),dx = e^x+2x+C1
como a reta tangente em P tem coeficiente angular -2, temos f'(0)=1+C1=-2, de onde
C1=-3
portanto
f'(x)=e^x+2x-3

Passo 3

Integramos f'(x)=e^x+2x-3 para achar f(x):
f(x)=integral (e^x+2x-3),dx = e^x+x^2-3x+C2
usando f(0)=1 1=1+0+0+C2implies C2=0, logo
f(x)=e^x+x^2-3x

Passo 4

Comparando com as alternativas do enunciado, a forma
y=e^x+x^2-3x
corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b)

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