Esboce o conjunto R do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
R=(x, y) in R^2 ;|x| <= 1,0 <= y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa esboçar o conjunto R no plano R^2, descobrir qual é a fronteira desse conjunto e classificá-lo como aberto, fechado, limitado, compacto ou conexo. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e topologia básica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que define o conjunto R. A equação dada é:
R = (x, y) in R^2 ;|; |x| <= 1, 0 <= y
Isso significa que x pode variar entre -1 e 1, e y pode ser qualquer número maior ou igual a 0. Na prática, isso forma uma região no plano onde o eixo x está limitado entre -1 e 1, e o eixo y vai de 0 até o infinito.

Passo 3

Vamos esboçar esse conjunto. No plano cartesiano:
  1. Trace as linhas verticais x = -1 e x = 1. Essas linhas limitam a região horizontalmente.
  2. Trace a linha horizontal y = 0, que é o eixo x.
  3. A região R é a área entre x = -1 e x = 1, acima do eixo x.
Então, o esboço será uma “faixa” vertical infinita, com largura 2 (de -1 a 1 no eixo x) e que se estende para cima indefinidamente.

Passo 4

Agora, vamos determinar a fronteira de R. A fronteira de um conjunto inclui todos os pontos onde é possível se aproximar tanto de dentro quanto de fora do conjunto.
No nosso caso:
  • As linhas x = -1 e x = 1 fazem parte da fronteira porque estão incluídas no conjunto e delimitam seus limites laterais.
  • A linha y = 0 também está na fronteira porque é o limite inferior de R.
Portanto, a fronteira de R é composta pelas linhas x = -1, x = 1 e y = 0.

Passo 5

Vamos classificar R:
  1. Aberto ou Fechado:
    • Um conjunto é aberto se não inclui sua fronteira. Como R inclui as linhas x = -1, x = 1 e y = 0, ele não é aberto.
    • Um conjunto é fechado se contém toda a sua fronteira. Como R inclui todas essas linhas, ele é fechado.
  2. Limitado ou Ilimitado:
    • Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito.
    • Como y pode ir até o infinito, R não é limitado.
  3. Compacto:
    • Um conjunto é compacto se é fechado e limitado.
    • Já vimos que R é fechado, mas não é limitado, então não é compacto.
  4. Conexo:
    • Um conjunto é conexo se não pode ser dividido em duas partes disjuntas.
    • R é uma única “faixa” contínua, então é conexo.

Resposta

O conjunto R é fechado, não limitado, não compacto e conexo.

Exercícios relacionados