Esboce o conjunto
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa esboçar o conjunto
no plano
, descobrir qual é a fronteira desse conjunto e classificá-lo como aberto, fechado, limitado, compacto ou conexo. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e topologia básica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que define o conjunto
. A equação dada é:
Isso significa que
pode variar entre -1 e 1, e
pode ser qualquer número maior ou igual a 0. Na prática, isso forma uma região no plano onde o eixo
está limitado entre -1 e 1, e o eixo
vai de 0 até o infinito.
Passo 3
Vamos esboçar esse conjunto. No plano cartesiano:
- Trace as linhas verticais
e . Essas linhas limitam a região horizontalmente. - Trace a linha horizontal
, que é o eixo . - A região
é a área entre e , acima do eixo .
Então, o esboço será uma “faixa” vertical infinita, com largura 2 (de -1 a 1 no eixo
) e que se estende para cima indefinidamente.
Passo 4
Agora, vamos determinar a fronteira de
. A fronteira de um conjunto inclui todos os pontos onde é possível se aproximar tanto de dentro quanto de fora do conjunto.
No nosso caso:
- As linhas
e fazem parte da fronteira porque estão incluídas no conjunto e delimitam seus limites laterais. - A linha
também está na fronteira porque é o limite inferior de .
Portanto, a fronteira de
é composta pelas linhas
,
e
.
Passo 5
Vamos classificar
:
-
Aberto ou Fechado:
- Um conjunto é aberto se não inclui sua fronteira. Como
inclui as linhas , e , ele não é aberto. - Um conjunto é fechado se contém toda a sua fronteira. Como
inclui todas essas linhas, ele é fechado.
- Um conjunto é aberto se não inclui sua fronteira. Como
-
Limitado ou Ilimitado:
- Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito.
- Como
pode ir até o infinito, não é limitado.
-
Compacto:
- Um conjunto é compacto se é fechado e limitado.
- Já vimos que
é fechado, mas não é limitado, então não é compacto.
-
Conexo:
- Um conjunto é conexo se não pode ser dividido em duas partes disjuntas.
-
é uma única “faixa” contínua, então é conexo.
Resposta
O conjunto
é fechado, não limitado, não compacto e conexo.