A derivada implícita da expressão x^2 y^2+x seny =5 para os pontos (x, y) in R^2 onde a mesma está bem definida é dada por:
a) d yd x=-2 x y^2+sen y2 x^2 y+x cos y
b) d yd x=2 x y^2+sen y2 x^2 y+x cos y
c) d yd x=2 x y^2-sen y2 x^2 y+x cos y
d) d yd x=2 x y^2+sen y2 x^2 y-x cos y
e) d yd x=2 x y^2-sen y2 x^2 y-x cos y

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^2y^2 + xsen y = 5
e pede dfracdydx. Para isso vamos usar regra do produto e regra da cadeia na derivação implícita em relação a x.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
  • Para x^2y^2, aplicamos produto:
ddx(x^2y^2) = 2x,y^2 + x^2cdot 2y,dydx
  • Para xsen y, também produto e cadeia em sen y:
ddx(xsen y) = 1cdot sen y + xcdot cos y,dydx
O lado direito, 5, deriva zero.

Passo 3

Somando as derivadas e igualando zero:
2x,y^2 + 2x^2y,dydx + sen y + xcos y,dydx = 0
Agrupando os termos que contêm tfracdydx:
l(2x^2y + xcos yr)dydx + l(2x,y^2 + sen yr) = 0

Passo 4

Isolando tfracdydx:
l(2x^2y + xcos yr)dydx = -l(2x,y^2 + sen yr) Longrightarrow dydx = -2x,y^2 + sen y2x^2y + xcos y

Resposta

a) dydx=-2x,y^2+sen y2x^2y+xcos y

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