Esboce o conjunto R do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
R=] 1,2[times[0,+infty[

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
R = ,]1,2[times[0,+infty[
do plano R^2. Aqui usamos produto cartesiano de intervalos: em x temos o intervalo aberto ,]1,2[, e em y o intervalo fechado-infinito [0,+infty[. Vamos:
1. Desenhar (esboçar) R.
2. Encontrar sua fronteira partialR.
3. Classificar R quanto a ser aberto, fechado, limitado, compacto e conexo.

Passo 2

Esboço de R:
Descrevemos por:
R=(x,y)inR^2mid 1<x<2,;y>=0
No plano, são todos os pontos entre as retas verticais x=1 e x=2 (essas não fazem parte de R), com y variando de 0 até +infty (incluindo a “base” y=0). É uma faixa vertical aberta em x e fechada em y pela base, estendendo-se para cima sem limite.

Passo 3

Para achar a fronteira partialR, usamos
partialR=Rsetminusint(R)
1. A aderência (fecho) é
R =[1,2]times[0,+infty[
2. O interior é
int(R) =(1,2)times(0,+infty)
Logo
partialR =l([1,2]times[0,+infty[,r)setminusl((1,2)times(0,+infty)r)
=(x,0)mid 1<= x<=2;cup;(1,y)mid y>=0;cup;(2,y)mid y>=0

Passo 4

Classificações:
  • Aberto? Não, pois não contém pontos interiores com y=0 (ela inclui a base y=0) e também não contém as bordas em x=1 ou x=2.
  • Fechado? Não, pois faltam as retas x=1 e x=2 para completar o fecho.
  • Limitado? Não, porque y vai até +infty.
  • Compacto? Não, pois não é fechado nem limitado.
  • Conexo? Sim. É o produto de intervalos conexos (1,2) e [0,+infty), logo R é conexo.

Resposta

Fronteira:
partialR =(x,0)mid 1<= x<=2;cup;(1,y)mid y>=0;cup;(2,y)mid y>=0
R não é aberto, não é fechado, não é limitado, não é compacto, mas é conexo.

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