Esboce o conjunto
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
do plano . Aqui usamos produto cartesiano de intervalos: em
temos o intervalo aberto
, e em
o intervalo fechado-infinito
. Vamos:
. Desenhar (esboçar)
.
. Encontrar sua fronteira
.
. Classificar
quanto a ser aberto, fechado, limitado, compacto e conexo.
do plano
Passo 2
Esboço de
:
Descrevemos por:
Descrevemos por:
No plano, são todos os pontos entre as retas verticais
e
(essas não fazem parte de
), com
variando de
até
(incluindo a “base”
). É uma faixa vertical aberta em
e fechada em
pela base, estendendo-se para cima sem limite.
Passo 3
Para achar a fronteira
, usamos
Logo
Passo 4
Classificações:
- Aberto? Não, pois não contém pontos interiores com
(ela inclui a basey=0 ) e também não contém as bordas emy=0 oux=1 .x=2 - Fechado? Não, pois faltam as retas
ex=1 para completar o fecho.x=2 - Limitado? Não, porque
vai atéy .+infty - Compacto? Não, pois não é fechado nem limitado.
- Conexo? Sim. É o produto de intervalos conexos
e(1,2) , logo[0,+infty) é conexo.R
Resposta
Fronteira: