A primitiva da aplicação f:^circ ^0 definida por f(x)=e^x sen(2 x) é:
a) e^x5(sen(2 x)-2 cos (2 x))+K
b) e^x5(sen(2 x)+2 cos (2 x))+K
c) e^x3(sen(2 x)-2 cos (2 x))+K
d) e^x3(sen(2 x)+2 cos (2 x))+K
e) e^x(sen(2 x)2+cos (2 x))+K

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva de f(x)=e^xsen(2x). O conteúdo aqui é integração por partes aplicada duas vezes para resolver integral e^xsen(2x),dx.

Passo 2

Definimos
I = integral e^xsen(2x),dx
Fazendo integração por partes com u=e^x, dv=sen(2x),dx (logo du=e^x,dx e v=-tfrac12cos(2x)), obtemos
I = -tfrac12e^xcos(2x) + tfrac12integral e^xcos(2x),dx

Passo 3

Chamemos
J = integral e^xcos(2x),dx
Aplicando partes em J com u=e^x, dv=cos(2x),dx (então v=tfrac12sen(2x)), vem
J = tfrac12e^xsen(2x) - tfrac12integral e^xsen(2x),dx = tfrac12e^xsen(2x) - tfrac12 I
Substituindo em I:
I = -tfrac12e^xcos(2x) + tfrac12J = -tfrac12e^xcos(2x) + tfrac14e^xsen(2x) - tfrac14I
Reagrupando termos,
tfrac54,I = tfrace^x4l(sen(2x)-2cos(2x)r) Longrightarrow I = e^x5l(sen(2x)-2cos(2x)r) + K

Passo 4

Comparando com as alternativas, vemos que coincide com a letra (a).

Resposta

a) e^x5l(sen(2x)-2cos(2x)r)+K

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