Para a curva e o ponto P dados, ache a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura e esboce o gráfico da curva e o círculo de curvatura em P.
y=sec (x) ; P(0,1)

Passo 1

O enunciado dá a curva y=sec x e o ponto P=(0,1). O conteúdo aqui é curvatura de curvas planas, para o qual precisamos das derivadas de y e da fórmula
kappa(x)=l|y''(x)r|l(1+(y'(x))^2r)^3/2
Depois, o raio de curvatura é rho=1/kappa e o centro de curvatura fica em P mais o vetor normal unitário vezes rho.

Passo 2

Vamos achar y' e y'':
y'=ddx(sec x)=sec xtan x,
y''=ddx(sec xtan x) =sec xtan^2 x+sec^3 x =sec xl(tan^2 x+sec^2 xr)
Em x=0 temos sec0=1, tan0=0, logo
y'(0)=1cdot0=0, y''(0)=1l(0^2+1^2r)=1

Passo 3

Substituindo em kappa:
kappa(0) =|y''(0)|l(1+(y'(0))^2r)^3/2 =1(1+0)^3/2 =1

Passo 4

O raio de curvatura em P é
rho(0)=1kappa(0)=1

Passo 5

O vetor normal unitário à curva em P é
N=(-y'(0),1)raiz1+(y'(0))^2 =(0,1)1=(0,1)
Então o centro de curvatura é
C=P+rho,N=(0,1)+(0,1)=(0,2)

Passo 6

Para esboçar, note que sec x tem mínimo em x=0 com y=1 e concavidade para cima. O círculo de curvatura em P é de raio 1 e centro (0,2), tangenciando a curva em P. Sua equação é
(x-0)^2+(y-2)^2=1^2

Resposta

kappa(0)=1
rho(0)=1
Centro de curvatura: (0,2)
Círculo de curvatura: (x)^2+(y-2)^2=1

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