Trace a curva definida por , indique sua orientação e calcule seu comprimento. (ciclóide)
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
que é uma ciclóide de raio . Precisamos () descrever seu traçado, () indicar a orientação à medida que cresce, e () calcular seu comprimento usando a fórmula de comprimento de curva paramétrica.
Passo 2
Para entender o traçado, avaliaremos alguns pontos-chave: , , .
Isso descreve um “arco” de ciclóide que começa em , sobe até o ponto mais alto em e volta ao eixo em . Visualmente é aquele arco ondulado típico, com cuspídeo na origem e outro em .
Passo 3
Como varia de a , o ponto percorre esse arco da esquerda para a direita. Logo, a orientação da curva é no sentido positivo de .
Passo 4
Para o comprimento usamos
Calculando a derivada:
r'(t) =al(1-cos tr),i+asin t,j
O módulo é
llVert r'(t)rrVert =araiz(1-cos t)^2+sin^2t =araiz2-2cos t =araiz2l(1-cos tr) =2al|sintfrac t2r|
Como em 0<= t<=2pi temos sintfrac t2>=0, fica
llVert r'(t)rrVert=2asintfrac t2
Passo 5
Agora integramos:
Resposta
A curva é um arco de ciclóide de (0,0) a (2pi a,0), orientada da esquerda para a direita, e seu comprimento é