Trace a curva C definida por r(t), indique sua orientação e calcule seu comprimento.
r(t)=a(t-sin t) i+a(1-cos t) j, 0 <= t <= 2 pi (ciclóide)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
r(t)=al(t-sin tr),i+al(1-cos tr),j, 0<= t<=2pi,
que é uma ciclóide de raio a. Precisamos ( 1) descrever seu traçado, ( 2) indicar a orientação à medida que t cresce, e ( 3) calcular seu comprimento usando a fórmula de comprimento de curva paramétrica.

Passo 2

Para entender o traçado, avaliaremos alguns pontos-chave:
r(0)=l(0,0r),
r(pi)=l(a(pi-0),,a(1-(-1))r)=l(api,,2ar),
r(2pi)=l(a(2pi-0),,a(1-1)r)=l(2pi a,,0r).
Isso descreve um “arco” de ciclóide que começa em (0,0), sobe até o ponto mais alto em t=pi e volta ao eixo x em (2pi a,0). Visualmente é aquele arco ondulado típico, com cuspídeo na origem e outro em (2pi a,0).

Passo 3

Como t varia de 0 a 2pi, o ponto percorre esse arco da esquerda para a direita. Logo, a orientação da curva é no sentido positivo de x.

Passo 4

Para o comprimento usamos
L=integral0^2pillVert r'(t)rrVert,dt
Calculando a derivada:
r'(t) =al(1-cos tr),i+asin t,j
O módulo é
llVert r'(t)rrVert =araiz(1-cos t)^2+sin^2t =araiz2-2cos t =araiz2l(1-cos tr) =2al|sintfrac t2r|
Como em 0<= t<=2pi temos sintfrac t2>=0, fica
llVert r'(t)rrVert=2asintfrac t2

Passo 5

Agora integramos:

Resposta

A curva é um arco de ciclóide de (0,0) a (2pi a,0), orientada da esquerda para a direita, e seu comprimento é
L=8a

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