Verifique as identidades, sem utilizar componentes de vetor
dd tu(t) cdot[u^prime(t) times u^prime prime(t)]=u(t) cdot[u^prime(t) times u^prime prime prime(t)]

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade de cálculo vetorial
dd tlu(t)cdotl[u'(t)timesu''(t)r]r =u(t)cdotl[u'(t)timesu'''(t)r]
Vamos usar a regra do produto escalar e do produto vetorial, além da propriedade de que o produto misto com dois vetores iguais é zero.

Passo 2

Aplicando a regra do produto escalar e do produto vetorial, obtemos
ddtl(ucdot(u'timesu'')r) =u'cdot(u'timesu'') +ucdotddtl(u'timesu''r)

Passo 3

Note que
u'cdot(u'timesu'')=0
pois no produto misto um dos dois vetores é repetido.

Passo 4

Agora calculamos a derivada do produto vetorial por sua regra:
ddtl(u'timesu''r) =u''timesu''+u'timesu'''

Passo 5

Como u''timesu''=0, sobra
ddtl(u'timesu''r) =u'timesu'''
Substituindo em

Passo 6

ddtl(ucdot(u'timesu'')r) =ucdot(u'timesu'''),
que é exatamente a identidade desejada.

Resposta

A identidade está verificada.

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