Encontre para as trajetórias espaciais o vetor binormal e a torção.
r(t)=cos ^3 t i+sen^3 t j

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t) = l(cos^3 t,;sin^3 t,;0r)
e pede o vetor binormal B(t) e a torção tau(t).
O conteúdo necessário é o tríade de Frenet, em que
B = r'times r''llVert r'times r''rrVert e tau = ( r'times r'')cdot r'''llVert r'times r''rrVert^2

Passo 2

Calculemos as derivadas até a terceira ordem.
r'(t) = l(-3cos^2tsin t,;3sin^2tcos t,;0r)
r''(t) = l(6cos t,sin^2t - 3cos^3t,;6sin t,cos^2t - 3sin^3t,;0r)
r'''(t) = (,ast,;ast,;0)(não precisamos dos coeficientes (ast) exatos, só que a componente (z) é zero) ãóé

Passo 3

O produto vetorial fica
r'(t)times r''(t) = l(0,0,;D(t)r),
onde um cálculo mostra
D(t)=-9,sin^2t;cos^2t
Como D(t)<0 para sin tcos tneq0, o vetor unitário binormal é
B(t) = r'times r''lvert D(t)rvert =(0,0,-1) =- k

Passo 4

Para a torção usamos
tau(t) =l( r'times r''r)cdot r'''lVert r'times r''rVert^2
Como r'times r'' está ao longo de z e r'''z=0, o produto escalar é zero, logo
tau(t)=0

Resposta

B(t)=- k, tau(t)=0

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