Encontre os vetores tangente unitário e normal unitário T(t) e N(t) para as seguintes curvas.
r(t)=(raizt, e^t, e^-t)

Passo 1

O enunciado pede para a curva
r(t)=l(raizt,,e^t,,e^-tr)
calcular o vetor tangente unitário T(t) e o vetor normal unitário N(t).
Conteúdo: vetores de Frenet – usamos
T(t)=r'(t)|r'(t)|, N(t)=T'(t)|T'(t)|
ou, equivalentemente,
N(t) =r''(t)-l(r''(t)cdotT(t)r),T(t) |r''(t)-l(r''(t)cdotT(t)r),T(t)|

Passo 2

Calculemos r'(t) componente a componente:
ddtraizt=12raizt, ddte^t=e^t, ddte^-t=-e^-t
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r'(t) =l(tfrac12raizt,,e^t,,-e^-tr)

Passo 3

O módulo de r'(t) é
|r'(t)| =raiz14t+e^2t+e^-2t
Para simplificar, chame
v(t)=raiz14t+e^2t+e^-2t

Passo 4

Assim o vetor tangente unitário é
T(t) =r'(t)|r'(t)| =1v(t) l(tfrac12raizt,,e^t,,-e^-tr)

Passo 5

Para o normal usamos primeiro
r''(t) =ddtr'(t) =l(-tfrac14t^3/2,,e^t,,e^-tr),
e calculamos o escalar r''(t)cdotT(t). Em seguida aplicamos
N(t) =r''(t)-l(r''(t)cdotT(t)r)T(t) |r''(t)-l(r''(t)cdotT(t)r)T(t)|

Resposta

T(t)=1raiz14t+e^2t+e^-2t,l(tfrac12raizt,,e^t,,-e^-tr)
N(t)=r''(t)-l(r''(t)cdotT(t)r)T(t)% |r''(t)-l(r''(t)cdotT(t)r)T(t)|,
com r''(t)=(-tfrac14t^3/2,,e^t,,e^-t).

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