Uma curva possui equação cartesiana x^{2}+y^{2}=(x y)^{1 / 2}. Na forma paramétrica, sua equação é dada por: \left\{\begin{array}{l}x(t)=\frac{t}{1+t^{4}} \\\ y(t)=\frac{t^{3}}{1+t^{4}}\end{array}, t \in \Re\right..
a. (1,0) Determine a equação da reta r_{1}, tangente à curva no ponto P\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right), usando derivação implícita.
b. (1,0) Determine a inclinação da reta r_{2}, tangente à curva no ponto t=\sqrt[3]{3}, usando a derivada da função dada na forma paramétrica.

Passo 1

O enunciado dá a curva em forma implícita
x^{2}+y^{2} = \bigl(x\,y\bigr)^{1/2}
e a parametrização
\begin{cases} x(t)=\dfrac{t}{1+t^{4}},\\[6pt] y(t)=\dfrac{t^{3}}{1+t^{4}}, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
Na letra (a) vamos usar diferenciação implícita para encontrar a derivada y'=dy/dx e, em seguida, a reta tangente no ponto P\bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr). Na letra (b) usamos a forma paramétrica para calcular
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}
e depois avaliamos em t=\sqrt[3]{3}.
]

Passo 2

Diferenciando implicitamente
x^{2}+y^{2}=(x\,y)^{1/2}
temos
2x + 2y\,y' \;=\;\tfrac12\,(x\,y)^{-1/2}\,\bigl(y + x\,y'\bigr).
Multiplicando ambos os lados por 2 e reorganizando os termos em y', obtemos
4x + 4y\,y' \;=\;(x\,y)^{-1/2}\,(y + x\,y') \quad\Longrightarrow\quad y'\,\bigl(4y - x\,(x\,y)^{-1/2}\bigr) =\;(x\,y)^{-1/2}\,y - 4x.
Assim,
y' \;=\;\frac{(x\,y)^{-1/2}\,y - 4x}{4y \;-\;x\,(x\,y)^{-1/2}}.

Passo 3

No ponto P\bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr) temos x\,y=\tfrac14, logo (x\,y)^{-1/2}=2. Substituindo,
y'_{P} =\frac{2\cdot\frac12 - 4\cdot\frac12}{4\cdot\frac12 - \frac12\cdot2} =\frac{1 - 2}{2 - 1} =-1.
A reta tangente r_{1} em P tem coeficiente angular -1 e passa por \bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr), portanto
y - \tfrac12 = -1\bigl(x - \tfrac12\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = -x +1.

Passo 4

Para a forma paramétrica calculamos
\frac{dx}{dt} =\frac{1\cdot(1+t^{4}) - t\cdot4t^{3}}{(1+t^{4})^{2}} =\frac{1-3t^{4}}{(1+t^{4})^{2}},
\frac{dy}{dt} =\frac{3t^{2}(1+t^{4}) - t^{3}\cdot4t^{3}}{(1+t^{4})^{2}} =\frac{3t^{2} - t^{6}}{(1+t^{4})^{2}} =\frac{t^{2}\,(3 - t^{4})}{(1+t^{4})^{2}}.
Então
\frac{dy}{dx} =\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} =\frac{t^{2}\,(3 - t^{4})}{\,1 - 3t^{4}\,}.

Passo 5

Em t=\sqrt[3]{3}, seja a=\sqrt[3]{3}. Então t^{4}=3a e
\bigl.\tfrac{dy}{dx}\bigr|_{t=a} =\frac{a^{2}\,\bigl(3 - 3a\bigr)}{1 - 9a} =\frac{3a^{2}(1 - a)}{1 - 9a} =\frac{3a^{2}(a - 1)}{9a - 1}.
Substituindo a=\sqrt[3]{3}, a inclinação de r_{2} é
m_{2} =\frac{3\sqrt[3]{3^{2}}\bigl(\sqrt[3]{3}-1\bigr)}{9\sqrt[3]{3}-1}.

Resposta

a) r_{1}:\;y=-x+1.
b) \displaystyle m_{2}=\frac{3\sqrt[3]{9}\,\bigl(\sqrt[3]{3}-1\bigr)}{9\sqrt[3]{3}-1}.

Exercícios relacionados