Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
g(r, s, t)=e^{r} \operatorname{sen}(s t) ; \quad g_{r s}

Passo 1

O enunciado pede a derivada mista
\displaystyle g_{rs} = \frac{\partial}{\partial s}\biggl(\frac{\partial g}{\partial r}\biggr)
da função
g(r,s,t) = e^{r}\,\sin(s\,t).
Vamos usar:
  1. Derivada parcial de e^r em relação a r.
  2. Regra da cadeia em \sin(s\,t) ao derivar em relação a s.

Passo 2

Calcular \displaystyle g_{r} = \frac{\partial g}{\partial r}, tratando s e t como constantes.
A derivada de e^{r} é e^{r} e \sin(s\,t) é constante, logo
g_{r}(r,s,t) = e^{r}\,\sin(s\,t).

Passo 3

Agora derivar g_{r} em relação a s:
g_{rs}(r,s,t) = \frac{\partial}{\partial s}\bigl(e^{r}\,\sin(s\,t)\bigr).
Aqui e^{r} é visto como constante, e aplicamos regra da cadeia em \sin(s\,t):
\frac{d}{ds}\sin(s\,t) = \cos(s\,t)\,\frac{d}{ds}(s\,t) = \cos(s\,t)\,t.
Portanto
g_{rs}(r,s,t) = e^{r}\,\bigl(\cos(s\,t)\,t\bigr) = t\,e^{r}\,\cos(s\,t).

Resposta

g_{rs}(r,s,t) = t\,e^{r}\,\cos(s\,t).

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