Supondo que f(x, y, z)=x y^{2} z^{3}+\operatorname{arcsen}(x \sqrt{z}), determine f_{x z}. [Dica: Qual ordem de diferenciação é mais fácil de usar?]

Passo 1

O enunciado dá
f(x,y,z)=x\,y^{2}z^{3}+\arcsin\bigl(x\sqrt{z}\bigr)
e pede a derivada mista f_{xz}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial z}. Como f é C^2, vale o teorema de Clairaut e podemos escolher a ordem mais fácil: primeiro derivar em z e depois em x.

Passo 2

Calculemos primeiro
f_z=\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(x\,y^{2}z^{3}\Bigr)\;+\;\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\arcsin(x\sqrt{z})\Bigr).
Para o primeiro termo
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\,y^{2}z^{3}\bigr) =3\,x\,y^{2}z^{2}.
Para o segundo, seja u=x\sqrt{z}, então \arcsin(u)'=1/\sqrt{1-u^2} e
\frac{du}{dz} =\frac{x}{2\sqrt{z}},
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\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\arcsin(x\sqrt{z})\bigr) =\frac{1}{\sqrt{1-(x\sqrt{z})^2}}\;\cdot\;\frac{x}{2\sqrt{z}} =\frac{x}{2\sqrt{z}\,\sqrt{1-x^2z}}.
Assim
f_z=3\,x\,y^{2}z^{2} +\frac{x}{2\sqrt{z}\,\sqrt{1-x^2z}}.

Passo 3

Agora derivamos f_z em relação a x:
f_{xz} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(3\,x\,y^{2}z^{2}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\frac{x}{2\sqrt{z}\,\sqrt{1-x^2z}}\Bigr).
Do primeiro termo vem
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3\,x\,y^{2}z^{2}\bigr) =3\,y^{2}z^{2}.
No segundo termo, note que
h(x)=\frac{x}{2\sqrt{z}}\,(1-x^2z)^{-1/2}.
Usando a regra do produto e a derivada de (1-x^2z)^{-1/2} obtemos
\frac{dh}{dx} =\frac{1}{2\sqrt{z}}\Bigl[(1-x^2z)^{-1/2} +x\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(1-x^2z)^{-3/2}(-2xz)\Bigr] =\frac{1}{2\sqrt{z}}\;\frac{1-x^2z + x^2z}{(1-x^2z)^{3/2}} =\frac{1}{2\sqrt{z}\,(1-x^2z)^{3/2}}.

Passo 4

Somando os resultados,
f_{xz} =3\,y^{2}z^{2} +\frac{1}{2\sqrt{z}\,(1-x^2z)^{3/2}}.

Resposta

f_{xz} =3\,y^{2}z^{2} +\frac{1}{2\sqrt{z}\,(1-x^2z)^{3/2}}.

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