Uma placa curva deflete uma corrente de água de 76 mm de diâmetro em um ângulo de 45^{\circ}. Para uma velocidade no jato de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para a direita, calcule o valor da componente de força desenvolvida contra a placa curva (supondo que não haja atrito).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Diâmetro do jato: \,d = 0{,}076\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade do jato (antes da deflexão): \,V = 40\\ \mathrm{m/s} para a direita.
  • Ângulo de deflexão: \,45^\circ (o jato é desviado de sua direção original para formar esse ângulo).
  • Suposição indicada no enunciado: sem atrito (ou seja, velocidade escalar do jato não muda por perda de energia na placa).
  • O que se pede: calcular a componente de força “desenvolvida contra a placa curva”. Vou interpretar isso como a componente horizontal da força que o jato exerce sobre a placa (isto é, a componente na direção do jato inicial — para a direita/ esquerda). Se você quiser outra componente (por exemplo a normal à placa), diga depois, mas aqui seguirei essa interpretação.
  • Informação física necessária que não foi dada explicitamente: densidade da água. Vou usar \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3} (valor padrão para água doce).

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê?
Vamos aplicar o princípio da conservação da quantidade de movimento (equivalente ao balanço de momento linear) em regime estacionário para o jato. Ideia física: a força que a placa exerce sobre o fluido é igual à taxa de variação de quantidade de movimento do fluido (por unidade de tempo) no controle volumétrico que envolve o jato. Pelo terceiro princípio de Newton, a força que o fluido exerce sobre a placa é igual e oposta àquela que a placa exerce sobre o fluido. Esse método é o mais direto quando temos um jato com seção conhecida e velocidade conhecida que muda de direção: compute-se a variação de componente de velocidade na direção de interesse multiplicada pela vazão mássica.
Fórmula básica (explicando cada termo): para a componente x,
F_x = \dot{m}\,\left(V_{x,\text{final}} - V_{x,\text{inicial}}\right),
onde
  • \,F_x é a força total exercida sobre o fluido na direção x (positiva para a direita);
  • \,\dot{m} é a vazão mássica do jato, em \mathrm{kg/s};
  • \,V_{x,\text{inicial}} é a componente x da velocidade antes da placa;
  • \,V_{x,\text{final}} é a componente x da velocidade depois da placa.
A força no sentido da placa (isto é, a força sobre a placa) é -F_x. Vou calcular primeiro F_x para o fluido e depois trocar de sinal para obter a força sobre a placa.

Passo 3

Calcular a vazão mássica \dot{m}.
Área da seção do jato:
A = \frac{\pi d^2}{4}.
Substituindo d = 0{,}076\\ \mathrm{m}:
A = \frac{\pi (0{,}076)^2}{4}.
Calculemos passo a passo:
(0{,}076)^2 = 0{,}005776,
\pi(0{,}005776) \approx 0{,}01815,
A \approx \frac{0{,}01815}{4} \approx 0{,}004537\\ \mathrm{m^2}.
Vazão volumétrica:
Q = A\,V \approx 0{,}004537\cdot 40 = 0{,}18148\\ \mathrm{m^3/s}.
Vazão mássica:
\dot{m} = \rho\,Q = 1000\cdot 0{,}18148 \approx 181{,}48\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Decompor velocidades em componentes x (horizontal) e y (vertical).
Antes da placa (jato para a direita):
V_{x,\text{inicial}} = V = 40\\ \mathrm{m/s},\qquad V_{y,\text{inicial}} = 0.
Depois da placa (jet defletido \,45^\circ em relação à horizontal, mantendo magnitude |V|=40\\ \mathrm{m/s} por ausência de atrito):
V_{x,\text{final}} = V\cos 45^\circ = 40\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 40\cdot 0{,}70710678 \approx 28{,}2843\\ \mathrm{m/s},
V_{y,\text{final}} = V\sin 45^\circ = 40\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 28{,}2843\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a taxa de variação da quantidade de movimento na direção x.
Variação da componente x da velocidade:
\Delta V_x = V_{x,\text{final}} - V_{x,\text{inicial}} = 28{,}2843 - 40 = -11{,}7157\\ \mathrm{m/s}.
Taxa de variação da quantidade de movimento (força sobre o fluido, direção x):
F_x^{(\text{fluido})} = \dot{m}\,\Delta V_x \approx 181{,}48\cdot(-11{,}7157)\\ \mathrm{N} \approx -2126\\ \mathrm{N}.
O sinal negativo indica que a placa exerce uma força negativa na direção x sobre o fluido (isto é, para a esquerda). Pela ação e reação, a força que o fluido exerce sobre a placa é o oposto:
F_x^{(\text{placa})} = -F_x^{(\text{fluido})} \approx +2126\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Interpretação final e arredondamento razoável.
  • Magnitude da componente horizontal da força que o jato exerce sobre a placa: aproximadamente \,2126\\ \mathrm{N}.
  • Direção: para a direita (mesma direção do jato original), porque o jato perde componente horizontal ao ser desviado para cima e, por reação, empurra a placa para a direita.

Resposta

2126\\ \mathrm{N} para a direita.

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