(7) A curva traçada por um ponto
na borda de um círculo quando ele rola ao longo de uma reta é chamada de cicloide. Um arco da cicloide surge quando o ponto
completa uma volta inteira no círculo. Use a fórmula da área dada pelo Teorema de Green para encontrar a área sob um arco da cicloide
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a curva chamada cicloide. Essa curva é formada quando um ponto na borda de um círculo rola sem escorregar sobre uma reta. O enunciado nos dá a equação paramétrica da cicloide:
O que precisamos fazer é encontrar a área sob um arco completo dessa cicloide usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo de áreas usando integrais e como aplicar o Teorema de Green nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. No nosso caso, queremos calcular a área sob a cicloide, que é um arco fechado.
A fórmula do Teorema de Green para calcular áreas é:
Aqui,
é a curva que delimita a região da área que queremos calcular.
Passo 3
Agora, vamos expressar
e
em termos de
usando as equações paramétricas:
Precisamos também encontrar as derivadas
e
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir essas expressões na fórmula da área:
Aqui, os limites de integração vão de
a
porque um arco completo da cicloide corresponde a esse intervalo de
.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Agora, vamos separar a integral em partes mais simples:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 7
Começando com
, usamos integração por partes:
Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Avaliado de
a
:
Passo 8
Agora,
. Usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 9
Para
:
Passo 10
Em relação a
:
Passo 11
Finalmente,
. Usamos outra identidade trigonométrica:
Então,
Passo 12
Agora, substituímos todas as integrais de volta na expressão original da área:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área sob um arco completo da cicloide é
.