(7) A curva traçada por um ponto P na borda de um círculo quando ele rola ao longo de uma reta é chamada de cicloide. Um arco da cicloide surge quando o ponto P completa uma volta inteira no círculo. Use a fórmula da área dada pelo Teorema de Green para encontrar a área sob um arco da cicloide r(t) = (t - sen(t), 1 - cos(t)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a curva chamada cicloide. Essa curva é formada quando um ponto na borda de um círculo rola sem escorregar sobre uma reta. O enunciado nos dá a equação paramétrica da cicloide:
O que precisamos fazer é encontrar a área sob um arco completo dessa cicloide usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo de áreas usando integrais e como aplicar o Teorema de Green nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. No nosso caso, queremos calcular a área sob a cicloide, que é um arco fechado.
A fórmula do Teorema de Green para calcular áreas é:
Á
Aqui, é a curva que delimita a região da área que queremos calcular.

Passo 3

Agora, vamos expressar e em termos de usando as equações paramétricas:
Precisamos também encontrar as derivadas e em relação a :

Passo 4

Vamos substituir essas expressões na fórmula da área:
Á
Aqui, os limites de integração vão de a porque um arco completo da cicloide corresponde a esse intervalo de .

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:
Á

Passo 6

Agora, vamos separar a integral em partes mais simples:
Á
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 7

Começando com , usamos integração por partes:
Seja e . Então, e .
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Avaliado de a :

Passo 8

Agora, . Usamos a identidade trigonométrica:
Então,

Passo 9

Para :

Passo 10

Em relação a :

Passo 11

Finalmente, . Usamos outra identidade trigonométrica:
Então,

Passo 12

Agora, substituímos todas as integrais de volta na expressão original da área:
Á
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área sob um arco completo da cicloide é .

Exercícios relacionados