Então, temos a função e a região definida por . O conteúdo aqui está relacionado a cálculo multivariável, especialmente integrais triplas em coordenadas esféricas. Vamos precisar entender como mudar as coordenadas cartesianas para esféricas e calcular o volume dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . A condição descreve uma esfera com raio 3 centrada na origem. Isso significa que todos os pontos que estão a uma distância menor que 3 do centro fazem parte da região .
Passo 3
Para integrar a função sobre a região , é mais fácil usar coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, são expressos em termos de (raio), (ângulo polar) e (ângulo azimutal):
Passo 4
A próxima coisa a fazer é calcular o elemento de volume em coordenadas esféricas, que é dado por:
Isso nos ajudará a configurar a integral tripla.
Passo 5
Agora, vamos reescrever a função em termos de coordenadas esféricas:
Simplificando:
Passo 6
A integral tripla que queremos calcular é:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 8
Observamos que a integral em relação a envolve . Vamos calcular essa parte:
Fazendo a substituição , , temos:
Avaliado de 0 a :
Passo 9
Como a integral em relação a resultou em zero, toda a integral tripla será zero. Isso acontece porque a função é ímpar em relação a sobre o intervalo simétrico de a .