(a) f(x, y, z) = (4 * x * y * z) / raiz(9 - x^2 - y^2 - z^2)
R: D = {(x, y, z) em R^3 ; x^2 + y^2 + z^2 < 9}

Passo 1

Então, temos a função e a região definida por . O conteúdo aqui está relacionado a cálculo multivariável, especialmente integrais triplas em coordenadas esféricas. Vamos precisar entender como mudar as coordenadas cartesianas para esféricas e calcular o volume dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A condição descreve uma esfera com raio 3 centrada na origem. Isso significa que todos os pontos que estão a uma distância menor que 3 do centro fazem parte da região .

Passo 3

Para integrar a função sobre a região , é mais fácil usar coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, são expressos em termos de (raio), (ângulo polar) e (ângulo azimutal):

Passo 4

A próxima coisa a fazer é calcular o elemento de volume em coordenadas esféricas, que é dado por:
Isso nos ajudará a configurar a integral tripla.

Passo 5

Agora, vamos reescrever a função em termos de coordenadas esféricas:
Simplificando:

Passo 6

A integral tripla que queremos calcular é:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 8

Observamos que a integral em relação a envolve . Vamos calcular essa parte:
Fazendo a substituição , , temos:
Avaliado de 0 a :

Passo 9

Como a integral em relação a resultou em zero, toda a integral tripla será zero. Isso acontece porque a função é ímpar em relação a sobre o intervalo simétrico de a .

Resposta

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