Questão 10: Encontre o valor exato das quatro primeiras somas parciais, encontre a forma fechada para a enésima soma parcial e determine se a série converge. Se ela convergir, determine sua soma.
b)
b)
Passo 1
Beleza, então a gente vai resolver a questão que pede para a gente calcular as quatro primeiras somas parciais da série
, encontrar uma fórmula geral para a enésima soma parcial e ver se essa série converge. A gente vai usar conceitos de séries geométricas para isso. Vamos precisar lembrar como calcular as somas parciais de uma série geométrica e entender o que significa a série convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira soma parcial, que é só o primeiro termo da série. Quando
, temos:
Passo 3
Agora, a segunda soma parcial inclui os dois primeiros termos. Então:
Passo 4
Vamos para a terceira soma parcial, que soma os três primeiros termos:
Passo 5
A quarta soma parcial inclui os quatro primeiros termos da série:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a fórmula geral para a enésima soma parcial de uma série geométrica. A fórmula é:
onde
é o primeiro termo e
�� a razão da série. No nosso caso,
e
. Substituindo:
Passo 7
Finalmente, vamos verificar se a série converge. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1. Aqui,
, e
que é maior que 1. Então, a série não converge; na verdade, ela cresce sem limites.
Resposta
As quatro primeiras somas parciais são
,
,
, e
. A fórmula geral para a enésima soma parcial é
. A série não converge.