Questão 10: Encontre o valor exato das quatro primeiras somas parciais, encontre a forma fechada para a enésima soma parcial e determine se a série converge. Se ela convergir, determine sua soma.
b) sumk=1^infty(4)^k-1

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver a questão que pede para a gente calcular as quatro primeiras somas parciais da série sumk=1^infty(4)^k-1, encontrar uma fórmula geral para a enésima soma parcial e ver se essa série converge. A gente vai usar conceitos de séries geométricas para isso. Vamos precisar lembrar como calcular as somas parciais de uma série geométrica e entender o que significa a série convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira soma parcial, que é só o primeiro termo da série. Quando k=1, temos:
S1 = 4^1-1 = 4^0 = 1

Passo 3

Agora, a segunda soma parcial inclui os dois primeiros termos. Então:
S2 = 4^0 + 4^1 = 1 + 4 = 5

Passo 4

Vamos para a terceira soma parcial, que soma os três primeiros termos:
S3 = 4^0 + 4^1 + 4^2 = 1 + 4 + 16 = 21

Passo 5

A quarta soma parcial inclui os quatro primeiros termos da série:
S4 = 4^0 + 4^1 + 4^2 + 4^3 = 1 + 4 + 16 + 64 = 85

Passo 6

Agora, vamos encontrar a fórmula geral para a enésima soma parcial de uma série geométrica. A fórmula é:
Sn = a1 cdot r^n - 1r - 1
onde a1 é o primeiro termo e r �� a razão da série. No nosso caso, a1 = 1 e r = 4. Substituindo:
Sn = 1 cdot 4^n - 14 - 1 = 4^n - 13

Passo 7

Finalmente, vamos verificar se a série converge. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão |r| for menor que 1. Aqui, r = 4, e |4| = 4 que é maior que 1. Então, a série não converge; na verdade, ela cresce sem limites.

Resposta

As quatro primeiras somas parciais são S1 = 1, S2 = 5, S3 = 21, e S4 = 85. A fórmula geral para a enésima soma parcial é Sn = 4^n - 13. A série não converge.

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