Questão 11: Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
b) sumk=1^infty(12^k-12^k+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
sumk=1^infty(12^k - 12^k+1)
Essa questão está relacionada ao estudo de séries na matemática, mais especificamente, vamos verificar se essa série converge (ou seja, tem uma soma finita) e, se sim, qual é essa soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de soma de séries telescópicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Esse tipo de série é aquele em que muitos termos se cancelam quando somamos os termos consecutivos. Isso facilita bastante encontrar a soma da série.

Passo 3

Vamos reescrever os primeiros termos da série para ver o que acontece:
Para 12^1 - 12^2 = 12 - 14 :
12^2 - 12^3 = 14 - 18
Para 12^3 - 12^4 = 18 - 116 :
Para :
E assim por diante.

Passo 4

Agora, somando esses termos:
(12 - 14) + (14 - 18) + (18 - 116) + dots
Aí você percebe que cancela com , com , e assim por diante. Isso é o que chamamos de telescópio na série.

Passo 5

No final, sobrará apenas o primeiro termo da série e o último termo tendendo a zero quando sumk=1^infty(12^k - 12^k+1) = 12 - limn to infty 12^n+1 = 12 - 0 = 12 vai para o infinito. Ou seja:

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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