Questão 11: Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
b)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
Essa questão está relacionada ao estudo de séries na matemática, mais especificamente, vamos verificar se essa série converge (ou seja, tem uma soma finita) e, se sim, qual é essa soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de soma de séries telescópicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Esse tipo de série é aquele em que muitos termos se cancelam quando somamos os termos consecutivos. Isso facilita bastante encontrar a soma da série.
Passo 3
Vamos reescrever os primeiros termos da série para ver o que acontece:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 4
Agora, somando esses termos:
Aí você percebe que
cancela com
,
com
, e assim por diante. Isso é o que chamamos de telescópio na série.
Passo 5
No final, sobrará apenas o primeiro termo da série e o último termo tendendo a zero quando
vai para o infinito. Ou seja:
Resposta
A série converge e a sua soma é
.