Utilize derivadas parciais para calcular
se
é definida implicitamente pelas equações dadas abaixo:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que liga
e
de um jeito meio escondido:
. O objetivo aqui é descobrir a derivada
usando derivadas parciais. Para isso, vamos usar a derivada implícita, que é super útil quando
está misturado com
na equação e não tá fácil de isolar.
Passo 2
Primeiro passo é derivar cada termo da equação em relação a
. Lembra que
é uma função de
, então sempre que derivar algo com
, vamos precisar aplicar a regra da cadeia.
Vamos lá:
-
Derivando
em relação a : -
Derivando
em relação a : Aqui aplicamos a regra do produto porque temosvezes . -
Derivando
em relação a : Aqui usamos a regra da cadeia, já quedepende de .
Passo 3
Agora, juntamos todas essas derivadas na equação original:
Isso porque a derivada de uma constante é zero.
Passo 4
Vamos organizar a equação para isolar
. Primeiro, juntamos os termos que têm
:
Agora, fatoramos
:
Passo 5
Finalmente, resolvemos para
dividindo os dois lados pela expressão que está multiplicando
:
Resposta
Então, a derivada parcial é: