Utilize derivadas parciais para calcular partial ypartial x se y=f(x) é definida implicitamente pelas equações dadas abaixo:
(a) 2 x^3+x^2 y+y^3=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que liga e de um jeito meio escondido: . O objetivo aqui é descobrir a derivada usando derivadas parciais. Para isso, vamos usar a derivada implícita, que é super útil quando está misturado com na equação e não tá fácil de isolar.

Passo 2

Primeiro passo é derivar cada termo da equação em relação a ddx(2x^3) = 6x^2 . Lembra que ddx(x^2 y) = 2x y + x^2 dydx é uma função de ddx(y^3) = 3y^2 dydx , então sempre que derivar algo com , vamos precisar aplicar a regra da cadeia.
Vamos lá:
  • Derivando em relação a :
  • Derivando em relação a :
    Aqui aplicamos a regra do produto porque temos vezes .
  • Derivando em relação a :
    Aqui usamos a regra da cadeia, já que depende de .

Passo 3

Agora, juntamos todas essas derivadas na equação original:
6x^2 + 2x y + x^2 dydx + 3y^2 dydx = 0
Isso porque a derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Vamos organizar a equação para isolar x^2 dydx + 3y^2 dydx = -6x^2 - 2x y . Primeiro, juntamos os termos que têm dydx (x^2 + 3y^2) = -6x^2 - 2x y :
Agora, fatoramos :

Passo 5

Finalmente, resolvemos para dydx = -6x^2 - 2x yx^2 + 3y^2 dividindo os dois lados pela expressão que está multiplicando :

Resposta

Então, a derivada parcial é:
partial ypartial x = -6x^2 - 2x yx^2 + 3y^2

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