1. Mostre que para valores (x, y) próximos de (1,0) vale
x \cdot \mathrm{e}^{x y} \cong x+y

Passo 1

O enunciado pede a aproximação linear (primeira ordem) de
f(x,y)=x\,e^{x y}
em torno do ponto (1,0). Para isso vamos usar a fórmula de Taylor em duas variáveis, que diz que, perto de (a,b),
f(x,y)\approx f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f.
Em notação,
f(x,y)=x\,e^{xy}.
Derivando em relação a x:
f_x(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^{xy}\bigr) =e^{xy}+x\cdot y\,e^{xy} =e^{xy}(1+xy).
Derivando em relação a y:
f_y(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,e^{xy}\bigr) =x\cdot x\,e^{xy} =x^2\,e^{xy}.

Passo 3

Avaliando em (a,b)=(1,0):
f(1,0)=1\cdot e^{1\cdot0}=1,
f_x(1,0)=e^{0}(1+1\cdot0)=1,
f_y(1,0)=1^2\,e^{0}=1.

Passo 4

Aplicando a aproximação de Taylor em (1,0):
f(x,y)\approx f(1,0)+f_x(1,0)\,(x-1)+f_y(1,0)\,(y-0) =1+1\,(x-1)+1\cdot y = x+y.

Resposta

x\,e^{x y}\cong x+y
para (x,y) próximo de (1,0).

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