Se alpha é uma curva com velocidade escalar constante v(t)=c>0, demonstre que:
N(t)=alpha^prime prime(t)|alpha^prime prime(t)|;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se alpha é uma curva cuja velocidade escalar é constante, isto é
v(t)=|alpha'(t)|=c>0,
então o versor normal ,N(t), pode ser escrito como
N(t)=alpha''(t)|alpha''(t)|
O conteúdo envolvido é a definição dos vetores tangente e normal em curvas parametrizadas.

Passo 2

Definimos o vetor tangente unitário por
T(t)=alpha'(t)|alpha'(t)|
Como |alpha'(t)|=c é constante, segue
T(t)=alpha'(t)c

Passo 3

Derivando T(t) em relação a t obtemos
T'(t)=ddtl(alpha'(t)cr) =alpha''(t)c,
pois c é constante.

Passo 4

Por definição, o versor normal é
N(t)=T'(t)|T'(t)|
Substituindo T'(t)=alpha''(t)/c, temos
|T'(t)|=l|alpha''(t)cr| =|alpha''(t)|c,
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N(t) =alpha''(t)/c|alpha''(t)|/c =alpha''(t)|alpha''(t)|

Resposta

N(t)=alpha''(t)|alpha''(t)|

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