Seja alpha(t)=(cos t, sen t, 1-sen t), t in R.
Obtenha o triedro de Frenet, de alpha no ponto (-1,0,1);

Passo 1

A gente tem a curva alpha(t)=(cos t,sin t,1-sin t) e precisa obter o triedro de Frenet no ponto : para isso vamos precisar achar o parâmetro que gera esse ponto, calcular as derivadas primeiras e segundas, normalizar para obter o vetor tangente (-1,0,1) O conteúdo é Geometria de Curvas em (R^3 e vetor normal T, e depois fazer produto vetorial para achar o binormal N.

Passo 2

Primeiro a gente acha t0 tal que e alpha(t0)=(-1,0,1) Das componentes vem: (cos t0=-1, o que dá .

Passo 3

Agora calculamos a derivada primeira e obtemos o vetor tangente. Temos
alpha'(t)=(-sin t,,cos t,,-cos t)
Em t=pi isso dá alpha'(pi)=(0,-1,1) e o comprimento (|\alpha’(\pi)|=\sqrt{02+(-1)2+1^2}=\sqrt2. Então
T(pi)=alpha'(pi)|alpha'(pi)|=l(0,-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)

Passo 4

Em seguida pegamos a derivada segunda para achar o vetor normal. Calculamos
alpha''(t)=(-cos t,,-sin t,,sin t)
Em t=pi isso dá alpha''(pi)=(1,0,0). Como alpha''(pi)cdot T(pi)=0, todo alpha''(pi) está no plano normal, e |alpha''(pi)|=1. Logo
N(pi)=alpha''(pi)|alpha''(pi)|=(1,0,0)

Passo 5

Por fim, o vetor binormal é o produto vetorial B=Ttimes N. Fazendo
B(pi)=l(0,-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)times(1,0,0)=(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2)

Resposta

Os vetores do triedro de Frenet em (-1,0,1) são:
T = l(0,-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r), N = (1,0,0) e B = l(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r).

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