Se alpha é uma curva com velocidade escalar constante v(t)=c>0, demonstre que:
B(t)=alpha^prime(t) times alpha^prime prime(t)c|alpha^prime prime(t)|, ondie alpha^prime prime(t) neq 0,

Passo 1

O enunciado diz que alpha é uma curva de velocidade escalar constante
v(t)=|alpha'(t)|=c>0
e pede para mostrar que, quando alpha''(t)neq0, o vetor binormal
B(t)=alpha'(t)timesalpha''(t)c,|alpha''(t)|
isso se baseia na construção do triêto de Frenet T,N,B, onde
T=alpha'|alpha'|, N=T'|T'|, B=Ttimes N

Passo 2

Como |alpha'(t)|=c é constante, temos
T(t)=alpha'(t)|alpha'(t)|=alpha'(t)c

Passo 3

Derivando T(t) em relação a t,
T'(t)=ddtl(alpha'(t)cr) =alpha''(t)c

Passo 4

O vetor normal unitário é
N(t)=T'(t)|T'(t)| =alpha''(t)/c|alpha''(t)/c| =alpha''(t)|alpha''(t)|,
pois |alpha''(t)/c|=|alpha''(t)|/c.

Passo 5

Finalmente, o binormal é
B(t)=T(t)times N(t) =alpha'(t)ctimesalpha''(t)|alpha''(t)| =alpha'(t)timesalpha''(t)c,|alpha''(t)|

Resposta

B(t)=alpha'(t)timesalpha''(t)c,|alpha''(t)|

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