Seja
.
Mostre que
é uma elipse
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
e pede para mostrarmos que a imagem de
é uma elipse.
O que vamos usar é geometria analítica em : identificar superfícies implícitas que a curva satisfaz (um cilindro e um plano) e lembrar que a interseção de um cilindro circular com um plano não paralelo ao seu eixo é uma elipse.
O que vamos usar é geometria analítica em
Passo 2
Mostramos primeiro que
está no cilindro circular de equação
. De fato, pelas componentes de
:
segue que
Passo 3
Em seguida notamos que a terceira componente de
satisfaz
ou seja,
Isso mostra que a imagem de
também pertence ao plano de equação
Passo 4
Portanto a imagem de
é exatamente a interseção do cilindro
com o plano
Como esse plano não é paralelo ao eixo do cilindro (o eixo do cilindro é a reta
), essa interseção é uma elipse em geometria analítica.
Passo 5
Para ficar ainda mais claro, podemos introduzir coordenadas no próprio plano
. Escolhemos como origem o ponto
e dois vetores de base ortonormais no plano:
Qualquer ponto
nesse plano se escreve
No nosso caso
dá
e
Logo em coordenadas
no plano a curva satisfaz
que é justamente a equação padrão de uma elipse de semi-eixos
e
.
Resposta
A imagem de
é a curva dada pela interseção do cilindro
com o plano
, o que é uma elipse.