Seja alpha(t)=(cos t, sen t, 1-sen t), t in R.
Mostre que alpha é uma elipse

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
alpha(t)=(cos t,;sin t,;1-sin t), tinR,
e pede para mostrarmos que a imagem de alpha é uma elipse.
O que vamos usar é geometria analítica em R^3: identificar superfícies implícitas que a curva satisfaz (um cilindro e um plano) e lembrar que a interseção de um cilindro circular com um plano não paralelo ao seu eixo é uma elipse.

Passo 2

Mostramos primeiro que alpha(t) está no cilindro circular de equação x^2+y^2=1. De fato, pelas componentes de alpha:
x(t)=cos t, y(t)=sin t
segue que
x(t)^2+y(t)^2 =cos^2t+sin^2t =1

Passo 3

Em seguida notamos que a terceira componente de alpha satisfaz
z(t)=1-sin t,
ou seja,
y(t)+z(t)=sin t+(1-sin t)=1
Isso mostra que a imagem de alpha também pertence ao plano de equação
y+z=1

Passo 4

Portanto a imagem de alpha é exatamente a interseção do cilindro
x^2+y^2=1
com o plano
y+z=1
Como esse plano não é paralelo ao eixo do cilindro (o eixo do cilindro é a reta x=y=0), essa interseção é uma elipse em geometria analítica.

Passo 5

Para ficar ainda mais claro, podemos introduzir coordenadas no próprio plano y+z=1. Escolhemos como origem o ponto P0=(0,0,1) e dois vetores de base ortonormais no plano:
e1=(1,0,0), e2=1raiz2(0,1,-1)
Qualquer ponto (x,y,z) nesse plano se escreve
(x,y,z)-P0 = u,e1 + v,e2
No nosso caso alpha(t) u=x=cos t e
v = llang<=(x,y,z)-P0,;e2rrang<= =y-(z-1)raiz2 =sin t -(-sin t)raiz2 =raiz2,sin t
Logo em coordenadas (u,v) no plano a curva satisfaz
u^2+v^22 =cos^2t+sin^2t =1,
que é justamente a equação padrão de uma elipse de semi-eixos 1 e raiz2.

Resposta

A imagem de alpha é a curva dada pela interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano y+z=1, o que é uma elipse.

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