Encontre vetores tangente e normal às curvas abaixo nos pontos indicados:
alpha(t)=(t^2, e^t, e^-t) no ponto P=(0,1,1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma curva definida por alpha(t) = (t^2, e^t, e^-t) e precisa encontrar os vetores tangente e normal nessa curva no ponto P = (0, 1, 1).
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas de curvas e vetores normais. Vamos precisar calcular a derivada da curva para achar o vetor tangente e depois encontrar um vetor normal a esse vetor tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de t que corresponde ao ponto P = (0, 1, 1). Sabemos que alpha(t) = (t^2, e^t, e^-t), então:
t^2 = 0 implies t = 0
Vamos verificar se t = 0 realmente nos dá o ponto P:
alpha(0) = (0^2, e^0, e^-0) = (0, 1, 1)
Então, t = 0 é o valor que nos interessa.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva nesse ponto. O vetor tangente é dado pela derivada da função alpha(t) em relação a t.
Calculando a derivada:
alpha'(t) = (ddt t^2, ddt e^t, ddt e^-t) = (2t, e^t, -e^-t)
Agora, avaliamos essa derivada no valor t = 0:
alpha'(0) = (2 cdot 0, e^0, -e^-0) = (0, 1, -1)
Então, o vetor tangente no ponto P é T = (0, 1, -1).

Passo 4

Para encontrar um vetor normal, precisamos de um vetor que seja perpendicular ao vetor tangente T. Uma maneira simples de encontrar um vetor normal é escolher um vetor que satisfaça o produto escalar com T igual a zero.
Vamos chamar o vetor normal de N = (a, b, c). Então, queremos que:
T cdot N = 0 cdot a + 1 cdot b + (-1) cdot c = b - c = 0 implies b = c
Então, qualquer vetor onde b = c será normal ao vetor tangente. Podemos escolher, por exemplo, N = (1, 1, 1).

Resposta

No ponto P = (0, 1, 1), o vetor tangente à curva é T = (0, 1, -1) e um vetor normal é N = (1, 1, 1).

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