Encontre vetores tangente e normal às curvas abaixo nos pontos indicados:
no ponto
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma curva definida por
e precisa encontrar os vetores tangente e normal nessa curva no ponto
.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas de curvas e vetores normais. Vamos precisar calcular a derivada da curva para achar o vetor tangente e depois encontrar um vetor normal a esse vetor tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de
que corresponde ao ponto
. Sabemos que
, então:
Vamos verificar se
realmente nos dá o ponto
:
Então,
é o valor que nos interessa.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva nesse ponto. O vetor tangente é dado pela derivada da função
em relação a
.
Calculando a derivada:
Agora, avaliamos essa derivada no valor
:
Então, o vetor tangente no ponto
é
.
Passo 4
Para encontrar um vetor normal, precisamos de um vetor que seja perpendicular ao vetor tangente
. Uma maneira simples de encontrar um vetor normal é escolher um vetor que satisfaça o produto escalar com
igual a zero.
Vamos chamar o vetor normal de
. Então, queremos que:
Então, qualquer vetor onde
será normal ao vetor tangente. Podemos escolher, por exemplo,
.
Resposta
No ponto
, o vetor tangente à curva é
e um vetor normal é
.