Mostre que em todo ponto da curva alpha(t)=(e^t cdot cos t, e^t cdot sen t, e^t) o ângulo entre o vetor normal e o eixo-z é constante.

Passo 1

O enunciado dá a curva
alpha(t) = l(e^tcos t,;e^tsin t,;e^tr)
e pede para mostrar que o ângulo entre o vetor normal principal N(t) e o eixo- z (direção k=(0,0,1)) é constante. Para isso vamos calcular alpha'(t), alpha''(t), a tangente unitária T(t), em seguida T'(t) e daí obter N(t)= T'(t)/| T'(t)|. Por fim faremos o produto escalar N(t)cdot k.

Passo 2

Derivando componente a componente, obtemos
alpha'(t)=e^tl(cos t-sin t,;sin t+cos t,;1r),
alpha''(t)=e^tl(-2sin t,;2cos t,;1r)
O quadrado da norma de alpha'(t) é
|alpha'(t)|^2 =e^2tl((cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2+1r) =3e^2t,
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|alpha'(t)|=raiz3,e^t

Passo 3

A tangente unitária é
T(t)=alpha'(t)|alpha'(t)| =1raiz3l(cos t-sin t,;sin t+cos t,;1r)
Derivando T(t) temos
T'(t) =1raiz3l(-(sin t+cos t),;cos t-sin t,;0r),
cuja norma é
| T'(t)|=raiztfrac23,
constante. Portanto o vetor normal principal vale
N(t) = T'(t)| T'(t)| =1raiz2l(-(sin t+cos t),;cos t-sin t,;0r)

Passo 4

O eixo- z tem direção k=(0,0,1). O cosseno do ângulo phi entre N(t) e k é
cosphi = N(t)cdot k| N(t)|,| k| =01cdot1 =0
Assim phi=pi/2 para todo t, ou seja, o ângulo é constante.

Resposta

O ângulo entre o vetor normal principal e o eixo z é pi/2.

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