Mostre que em todo ponto da curva
o ângulo entre o vetor normal e o eixo-z é constante.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede para mostrar que o ângulo entre o vetor normal principal
e o eixo-
(direção
) é constante. Para isso vamos calcular
,
, a tangente unitária
, em seguida
e daí obter
. Por fim faremos o produto escalar
.
Passo 2
Derivando componente a componente, obtemos
O quadrado da norma de
é
logo
Passo 3
A tangente unitária é
Derivando
temos
cuja norma é
constante. Portanto o vetor normal principal vale
Passo 4
O eixo-
tem direção
. O cosseno do ângulo
entre
e
é
Assim
para todo
, ou seja, o ângulo é constante.
Resposta
O ângulo entre o vetor normal principal e o eixo
é
.