Encontre vetores tangente e normal à curva alpha(t)=(e^t, t e^t, t+4) no instante t=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os vetores tangente e normal à curva dada por alpha(t) = (e^t, t e^t, t+4) no instante t=0. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, onde trabalhamos com derivadas de curvas para entender suas direções em pontos específicos. Para resolver isso, vamos precisar derivar a função alpha(t) para achar o vetor tangente e depois encontrar o vetor normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva no instante t=0. O vetor tangente é basicamente a derivada da função alpha(t) em relação a t. Vamos calcular alpha'(t):
alpha(t) = (e^t, t e^t, t+4)
Derivando cada componente em relação a t:
alpha'(t) = (ddte^t, ddt(t e^t), ddt(t+4))
Calculando cada derivada:
  • ddte^t = e^t
  • ddt(t e^t) = e^t + t e^t (usamos a regra do produto)
  • ddt(t+4) = 1
Então,
alpha'(t) = (e^t, e^t + t e^t, 1)

Passo 3

Agora, vamos avaliar alpha'(t) no instante t=0 para encontrar o vetor tangente nesse ponto:
alpha'(0) = (e^0, e^0 + 0 cdot e^0, 1) = (1, 1 + 0, 1) = (1, 1, 1)
Então, o vetor tangente à curva no instante t=0 é T = (1, 1, 1).

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor normal. Na geometria diferencial, o vetor normal principal é obtido derivando o vetor tangente em relação a t e normalizando o resultado. Primeiro, precisamos derivar alpha'(t) para encontrar alpha''(t):
alpha'(t) = (e^t, e^t + t e^t, 1)
Derivando novamente:
alpha''(t) = (ddte^t, ddt(e^t + t e^t), ddt1) = (e^t, e^t + e^t + t e^t, 0) = (e^t, 2 e^t + t e^t, 0)

Passo 5

Agora, avaliamos alpha''(t) no instante t=0:
alpha''(0) = (e^0, 2 e^0 + 0 cdot e^0, 0) = (1, 2 + 0, 0) = (1, 2, 0)
Esse é o vetor derivado do vetor tangente no instante t=0. Para encontrar o vetor normal, precisamos normalizar esse vetor, ou seja, ajustar seu comprimento para 1.

Passo 6

Vamos calcular o comprimento de alpha''(0):
|alpha''(0)| = raiz1^2 + 2^2 + 0^2 = raiz1 + 4 + 0 = raiz5
Agora, o vetor normal N é dado por:
N = alpha''(0)|alpha''(0)| = (1raiz5, 2raiz5, 0)

Resposta

O vetor tangente à curva no instante t=0 é T = (1, 1, 1) e o vetor normal é N = (1raiz5, 2raiz5, 0).

Exercícios relacionados