Encontre vetores tangente e normal à curva
no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os vetores tangente e normal à curva dada por
no instante
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, onde trabalhamos com derivadas de curvas para entender suas direções em pontos específicos. Para resolver isso, vamos precisar derivar a função
para achar o vetor tangente e depois encontrar o vetor normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva no instante
. O vetor tangente é basicamente a derivada da função
em relação a
. Vamos calcular
:
Derivando cada componente em relação a
:
Calculando cada derivada:
-
-
(usamos a regra do produto) -
Então,
Passo 3
Agora, vamos avaliar
no instante
para encontrar o vetor tangente nesse ponto:
Então, o vetor tangente à curva no instante
é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor normal. Na geometria diferencial, o vetor normal principal é obtido derivando o vetor tangente em relação a
e normalizando o resultado. Primeiro, precisamos derivar
para encontrar
:
Derivando novamente:
Passo 5
Agora, avaliamos
no instante
:
Esse é o vetor derivado do vetor tangente no instante
. Para encontrar o vetor normal, precisamos normalizar esse vetor, ou seja, ajustar seu comprimento para 1.
Passo 6
Vamos calcular o comprimento de
:
Agora, o vetor normal
é dado por:
Resposta
O vetor tangente à curva no instante
é
e o vetor normal é
.