A curva de Viviani C é a interseção das superfícies
x^2+y^2=z^2, y=z^2
Descreva a projeção de C sobre o plano xy.

Passo 1

O enunciado pede para projetar no plano xy a curva de Viviani definida pela interseção das superfícies x^2+y^2=z^2 e y=z^2. O conteúdo principal aqui é projeção de curvas em superfícies e eliminação de variáveis.

Passo 2

Para projetar uma curva no plano xy, “esquecemos” a coordenada z, isto é, buscamos todas as pares (x,y) tais que exista ao menos um z satisfazendo ambas as equações.
Da segunda equação temos y=z^2, logo z^2=y e, por ser quadrado, y>=0. Agora substituímos em x^2+y^2=z^2:
x^2+y^2=y

Passo 3

Para ver o formato geométrico, completamos o quadrado em y. Escrevendo y^2-y=(y-tfrac12)^2-tfrac14, temos
x^2+(y-tfrac12)^2=tfrac14

Passo 4

Portanto a projeção no plano xy é o conjunto dos pontos (x,y) que formam um círculo de centro (0,tfrac12) e raio tfrac12, naturalmente com y>=0, embora o círculo já fique entre y=0 e y=1.

Resposta

A projeção de C no plano xy é o círculo dado por x^2+(y-tfrac12)^2=tfrac14.

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