A curva de Viviani
é a interseção das superfícies
Descreva a projeção de
sobre o plano
.
Passo 1
O enunciado pede para projetar no plano xy a curva de Viviani definida pela interseção das superfícies
e
. O conteúdo principal aqui é projeção de curvas em superfícies e eliminação de variáveis.
Passo 2
Para projetar uma curva no plano xy, “esquecemos” a coordenada
, isto é, buscamos todas as pares
tais que exista ao menos um
satisfazendo ambas as equações.
Da segunda equação temos , logo
e, por ser quadrado,
. Agora substituímos em
:
Da segunda equação temos
Passo 3
Para ver o formato geométrico, completamos o quadrado em
. Escrevendo
, temos
Passo 4
Portanto a projeção no plano xy é o conjunto dos pontos
que formam um círculo de centro
e raio
, naturalmente com
, embora o círculo já fique entre
e
.
Resposta
A projeção de
no plano xy é o círculo dado por
.