Determine m para que:
(h) m x^2+(m+3) x+m >= 0, forall x in R

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de m tais que o polinômio quadrático f(x)=m x^2+(m+3)x+m seja não-negativo para todo xin R. O conteúdo aqui é condição de positividade de uma função quadrática, usando coeficiente líder e discriminante.

Passo 2

Para que uma quadrática f(x)=ax^2+bx+c satisfaça f(x)>=0 para todo real, precisamos que o coeficiente líder a seja positivo e que o discriminante De seja não-positivo. Aqui temos a=m, b=m+3 e c=m.
Antes de usar estas condições, vale checar o caso m=0. Se m=0, então f(x)=3x, que obviamente não é >=0 para todo x. Logo, m=0 não serve.

Passo 3

Partindo de m>0, impomos De. Calculamos:
De
Resolvendo -3m^2+6m+9<=0: multiplicando por -1 (inverte o sinal) e dividindo por 3, obtemos
$$
m^2 -2m -3 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad (m-3)(m+1)\ge0 \quad\Longrightarrow\quad m\le -1 ou m\ge3.
$$

Passo 4

Como precisamos de m>0, a solução final é m>=3.

Resposta

m>=3

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