A curva de Viviani C é a interseção das superfícies
x^2+y^2=z^2, y=z^2
Mostre que C fica na esfera de raio 1 centrada em (0,1,0). Essa curva parece um oito deitado numa esfera.

Passo 1

O enunciado define a curva de Viviani C como interseção das superfícies
x^2+y^2=z^2, y=z^2,
e pede para mostrar que todo ponto (x,y,z) de C satisfaz a equação da esfera de centro (0,1,0) e raio 1, ou seja,
(x-0)^2+(y-1)^2+(z-0)^2=1

Passo 2

Da segunda equação segue y=z^2. Substituindo em x^2+y^2=z^2 obtém-se
x^2+z^4=z^2 Longrightarrow x^2=z^2-z^4=z^2(1-z^2)

Passo 3

A equação da esfera centrada em (0,1,0) e raio 1 é
(x-0)^2+(y-1)^2+(z-0)^2=1
Para verificar que C fica sobre essa esfera, calculamos o lado esquerdo usando as expressões de x^2 e y.

Passo 4

Substituindo y=z^2 e x^2=z^2(1-z^2) em
(x-0)^2+(y-1)^2+z^2
obtemos
z^2(1-z^2)+(z^2-1)^2+z^2
Como (z^2-1)^2=(1-z^2)^2, o somatório fica
z^2(1-z^2)+(1-z^2)^2+z^2 = z^2-z^4+1-2z^2+z^4+z^2 =1
Portanto todo ponto de C satisfaz (x-0)^2+(y-1)^2+z^2=1.

Resposta

A curva C está contida na esfera de raio 1 centrada em (0,1,0).

Exercícios relacionados