7: Para a curva y=\frac{1}{x^{2}+1} encontre uma equação da reta tangente no ponto P\left(-1, \frac{1}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva
\displaystyle y=\frac{1}{x^{2}+1}
no ponto P\bigl(-1,\tfrac12\bigr). Vamos usar derivação (regra da cadeia) para obter o coeficiente angular da tangente.

Passo 2

Escrevendo y como potência, temos y=(x^{2}+1)^{-1}. Aplicando a regra da cadeia:
y' = -1\,(x^{2}+1)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}+1) = -1\,(x^{2}+1)^{-2}\cdot(2x) = -\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Avaliaremos a derivada em x=-1:
y'(-1) = -\frac{2\cdot(-1)}{((-1)^{2}+1)^{2}} = \frac{2}{(1+1)^{2}} = \frac{2}{4} = \frac12.
Logo, o coeficiente angular da reta tangente é m=\tfrac12.

Passo 4

A equação da reta tangente em P(x_{0},y_{0}) é
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}).
Substituindo x_{0}=-1, y_{0}=\tfrac12 e m=\tfrac12, vem
y - \tfrac12 = \tfrac12\,(x + 1).
Isolando y:
y = \tfrac12\,x + \tfrac12 + \tfrac12 = \tfrac12\,x + 1.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = \frac12\,x + 1.

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