Encontre a primeira e a segunda derivada das funções abaixo
f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primeira e a segunda derivada da função
f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}.
O conteúdo principal aqui é a regra do quociente para obter f'(x) e, em seguida, usar a regra da cadeia (e, se preferir, o produto) para obter f''(x).

Passo 2

Vamos aplicar a regra do quociente. Se \,u(x)=x e \,v(x)=x^2-1, então
u'(x)=1,\quad v'(x)=2x,
e
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} =\frac{1\cdot(x^2-1)-x\cdot(2x)}{(x^2-1)^2}.

Passo 3

Agora simplificamos o numerador:
1\cdot(x^2-1)-2x^2 = x^2-1-2x^2 = -x^2-1 = -(x^2+1).
Logo,
f'(x)=\frac{-(x^2+1)}{(x^2-1)^2} =-\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}.

Passo 4

Para a segunda derivada f''(x), derivamos
f'(x)=-\,(x^2+1)\,(x^2-1)^{-2}.
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
f''(x) =-\Bigl[ 2x\,(x^2-1)^{-2}+(x^2+1)\cdot(-2)\,(x^2-1)^{-3}\cdot(2x) \Bigr].

Passo 5

Dentro do colchete temos
2x\,(x^2-1)^{-2} -4x\,(x^2+1)\,(x^2-1)^{-3}.
Colocando sobre o mesmo denominador (x^2-1)^3:
\frac{2x(x^2-1)-4x(x^2+1)}{(x^2-1)^3} =\frac{2x x^2-2x-4x x^2-4x}{(x^2-1)^3} =\frac{-2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}.
Como havia um sinal “ -)” externo, fica
f''(x) =-\biggl(\frac{-2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}\biggr) =\frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}.

Resposta

f'(x)=-\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}, \qquad f''(x)=\frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}.

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