Derive cada função abaixo.
f(x)=\left(x+x^{-1}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(x + x^{-1}\bigr)^{3}.
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia, associada à derivada da soma x + x^{-1}.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x)=x + x^{-1}.
Para aplicarmos a regra da cadeia, primeiro encontramos
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x + x^{-1}\bigr)=1 - x^{-2}.

Passo 3

Agora usamos a regra da cadeia: se
f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{3},
então
f'(x)=3\bigl(g(x)\bigr)^{2}\,g'(x).

Passo 4

Substituindo g(x) e g'(x), obtemos
f'(x)=3\bigl(x + x^{-1}\bigr)^{2}\,\bigl(1 - x^{-2}\bigr).

Passo 5

Podemos reescrever \,1 - x^{-2}=\tfrac{x^{2}-1}{x^{2}}, ficando
f'(x) =3\bigl(x + x^{-1}\bigr)^{2}\,\frac{x^{2}-1}{x^{2}}.

Resposta

f'(x)=3\bigl(x + x^{-1}\bigr)^{2}\,\bigl(1 - x^{-2}\bigr).

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